Matrice et récurrence

[Darkosgar]

Bien le bonjour,
Alors voila je me retrouve face à cet exercice :
Montrer par récurrence pour n > ou égal à 1 que toute matrice A carrée à n lignes de trace nulle est semblable à une matrice de diag nulle.

Je fais l'initialisation sans prob mais je ne comprends pas comment relié le rang n avec le suivant. Il me faudrait juste cette petite indication por favor.
Evitez toute résolution, ceci ne m'interessant pas.

En vous remerciant :hum:

[Judoboy]

On prend f l'endo associé à ta matrice.
Si, quel que soit x dans E (x,f(x)) est lié, f est l'application nulle et c'est fini.


S'il existe x tel que (x,f(x)) est libre, tu complètes (x,f(x)) pour faire une base et tu écris la matrice A' de ton endomorphisme dans cette base. Tu vas avoir un 0 en haut à gauche et un endo de trace nulle, appelons-le B, dans le bloc carré restant (car la trace est invariante par changement de base).
En gros ça fait ça :
[0 x x]
[1 B B]
[0 B B]
Et donc B est de trace nulle. (B est la matrice carrée, c'est moche mais on peut pas mettre d'espaces dans les matrices).

Il te reste à construire une matrice de passage (par blocs) qui transforme A' en une matrice


[0 x]
[x B]

Avec B' de diagonale nulle (c'est là qu'on va se servir de l'hypothèse de récurrence).

[Darkosgar]

Ha ouai carrement, j'avais pas du tout pensé a ça :). Bravo et merci bien