Mahtématique financière

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Armath
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Mahtématique financière

par Armath » 04 Oct 2018, 17:58

Bonjour,

Je dois trouver un montant de capital pour un emprunt avec remboursement non contant.

12 mensualités de 1000 €
12 mensualités de 1100 €
12 mensualités de 1200 €
Soit 36 mensualités.
Taux d’intérêts annuel de 2.50 %
Paiement à échoir.

Et j'ai des difficultés à trouver une formule qui permet ceci.

Par avance merci.



pascal16
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Re: Mahtématique financière

par pascal16 » 04 Oct 2018, 20:20

je pense qu'il faut faire un calcul du genre :
-> que vaut l’intérêt mensuel ?
-> calcul des valeur actuelles + somme, il existe des formules toutes faites pour la somme sur une année

Si Sage passe par là, il t'expliquera exactement

SAGE63
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Re: Mahtématique financière

par SAGE63 » 04 Oct 2018, 21:07

Bonjour à tous

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR l'ENONCE

A) DEFINITION de l'EXPRESSION : "paiement à échoir"

B) DETERMINER le taux d'intérêt mensuel "équivalent" au taux d'intérêt annuel de 2.50 %


C) Le remboursement de cet emprunt s'effectue par des remboursements mensuels non constants sur toute la période.


Une piste : calculer la valeur actuelle de chaque tranche de remboursements à mensualités constantes.


D) Le JUGE DE PAIX : établir le tableau de remboursement de cet emprunt à titre de vérification.


Devoir intéressant.

A vous lire

Armath
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Re: Mahtématique financière

par Armath » 05 Oct 2018, 08:36

Bonjour Sage63,

A) le paiement a échoir arrive en début d’échéance, ce qui impact le calcul d’intérêts.

B) 2.50/12/100 = 0.002083333 Aka Taux / Nombre de paiements par an / 100

C) une formule pour cette piste ? :)

D) Dépend de la réponse de C

Merci de votre réponse !

pascal16
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Re: Mahtématique financière

par pascal16 » 05 Oct 2018, 10:07

Totalement débutant en calcul financier, j'essais de faire l'exo en même temps, je situe la réponse entre 38055 et 38151 suivant les scénarios, au tableur + somme des 36 valeurs actuelles.

Google m'a donné assez peu de réponse claire sur ce qu'est dans la réalité un "emprunt" + "à échoir".
exemple de "à échoir" : location, loyer...
C'est le cas des LOA ?

Armath
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Re: Mahtématique financière

par Armath » 05 Oct 2018, 10:11

Bonjour pascal et merci, en effet c'est du LOA !

pascal16
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Re: Mahtématique financière

par pascal16 » 05 Oct 2018, 10:19

Sage, tu peux confirmer le calcul 2.5%/12 pour le taux mensuel et pourquoi pas racine douzième (1+2.5%)-1 ?
la V actuelle du premier mois est bien de 1000, puis on arrive à 1200/(1+Tmens)^35 pour le dernier ?
Merci

SAGE63
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Re: Mahtématique financière

par SAGE63 » 05 Oct 2018, 17:12

Bonjour à tous

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR l'ENONCE

A) DEFINITION de l'EXPRESSION : "paiement à échoir"

En mathématiques financières l'expression "paiement à échoir" est TRES PEU UTILISEE (à ma connaissance).
On utilise les expressions :

a) Définition de la Valeur actuelle (ou valeur à l'origine) d'une suite de versements constants

On appelle valeur actuelle, ou valeur à l'origine , d'une suite de versements constants, et on désigne par
V(o) le total exprimé UNE PERIODE AVANT LE PAIEMENT DU 1ER VERSEMENT des valeurs actuelles respectives de chacun des versments, exprimés cette date "0" , en usant du taux périodique "i".
Ces versements sont souvent appelés "VERSEMENTS DE FIN DE PERIODE".

On a la formule :

V(0) = a(f) * [1- (1+i) ¯ⁿ ] / i ]

avec :

V(0) = valeur actuelle
a(f)= montant périodique dont le premier est versé à la fin de la période
i = taux d'intérêt périodique pour 1
n = nombre de versements

ATTENTION :
Tout le monde connaît cette formule de mathématiques financières.
Mais on "oublie" sa définition qui s'applique : "UNE PERIODE AVANT LE PAIEMENT DU 1ER VERSEMENT".

3) L'enoncé dit (succintement) : "paiement à échoir".

Je suis d'accord l'expression "paiement à échoir" veut dire paiement IMMEDIAT à la date où l'emprunt est souscrit.

EN CONCLUSION on ne peut pas utiliser la formule de mathématiques financières telle que décrite au point a) ci-dessus.

3) Quelle formule utilisée ?

Nous somme dans le cas de "VERSEMENTS DE DEBUT DE PERIODE".
On constate que TOUS LES VERSEMENTS SONT EFFECTUES EN DEBUT DE CHAQUE PERIODE .
La valeur d'une suite de versement de début de période s'exprime au début de la première période.

On a la formule :

V(0) = { a(d) * [1- (1+i) ¯ⁿ ) / i ] } (1 + i)

avec :

V(0) = valeur actuelle
a(d)= montant périodique dont le premier est versé à la debut de la première période
i = taux d'intérêt périodique pour 1
n = nombre de versements

4) Conséquences

Il faut "bien fixer la date du premeire versement en fonction de la date d'obtention de l'emprunt.

B) DETERMINER le taux d'intérêt mensuel "équivalent" au taux d'intérêt annuel de 2.50 %

Il s'agit du taux "équivalent" et non pas du taux dit "proportionnel"

Si le taux est de 2,5 % l'an soit 0,025 pour 1 annuel,
le taux équivalent mensuel est de
1,025 ¹′¹² - 1 = 1,002059836 -1 = 0,002059836 pour 1 mensuel soit 0,205983627 % par mois.

C) Le remboursement de cet emprunt s'effectue par des remboursements mensuels non constants sur toute la période.

Une piste : calculer la valeur actuelle de chaque tranche de remboursements à mensualités constantes.
Attention à bien déterminer à quelle date on calcule la valeur actuelle de chaque groupe de versements identiques en fonction de la date d'obtention de l'emprunt.

SAGE63
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Re: Mahtématique financière

par SAGE63 » 05 Oct 2018, 18:04

LE JUGE DE PAIX : LE TABLEAU DE REMBOURSEMENT DE L'EMPRUNT

Mois 1
Au début il est emprunt la somme de 38 150,92590 euros
Remboursement échéance n° 1 de 1 000,00 reste dû : 37 150,92590
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 76,52482
Il reste dû en fin de mois : 37 150,92590 + 76,52482 = 37 227,45072

Mois 2
Il reste dû en début de mois : 37 227,45072 euros
Remboursement échéance n° 2 de 1 000,00 reste dû : 36 227,45072
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 74,62262
Il reste dû en fin de mois : 36 227,45072 + 74,62262 = 36 302,07334

Mois 3
Il reste dû en début de mois : 36 302,07334 euros
Remboursement échéance n° 3 de 1 000,00 reste dû : 35 302,07334
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 72,71649
Il reste dû en fin de mois : 35 302,07334 + 72,71649 = 35 374,78983

Mois 4
Il reste dû en début de mois : 35 374,78983 euros
Remboursement échéance n° 4 de 1 000,00 reste dû : 34 374,78983
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 70,80644
Il reste dû en fin de mois : 34 374,78983 + 70,80644 = 34 445,59627

Mois 5
Il reste dû en début de mois : 34 445,59627 euros
Remboursement échéance n° 5 de 1 000,00 reste dû : 33 445,59627
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 68,89245
Il reste dû en fin de mois : 33 445,59627 + 68,89245 = 33 514,48872

Mois 6
Il reste dû en début de mois : 33 514,48872 euros
Remboursement échéance n° 6 de 1 000,00 reste dû : 32 514,48872
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 66,97452
Il reste dû en fin de mois : 32 514,48872 + 66,97452 = 32 581,46325

Mois 7
Il reste dû en début de mois : 32 581,46325 euros
Remboursement échéance n° 7 de 1 000,00 reste dû : 31 581,46325
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 65,05264
Il reste dû en fin de mois : 31 581,46325 + 65,05264 = 31 646,51589

Mois 8
Il reste dû en début de mois : 31 646,51589 euros
Remboursement échéance n° 8 de 1 000,00 reste dû : 30 646,51589
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 63,12680
Il reste dû en fin de mois : 30 646,51589 + 63,12680 = 30 709,64270

Mois 9
Il reste dû en début de mois : 30 709,64270 euros
Remboursement échéance n° 9 de 1 000,00 reste dû : 29 709,64270
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 61,19700
Il reste dû en fin de mois : 29 709,64270 + 61,19700 = 29 770,83969

Mois 10
Il reste dû en début de mois : 29 770,83969 euros
Remboursement échéance n° 10 de 1 000,00 reste dû : 28 770,83969
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 59,26322
Il reste dû en fin de mois : 28 770,83969 + 59,26322 = 28 830,10291

Mois 11
Il reste dû en début de mois : 28 830,10291 euros
Remboursement échéance n° 11 de 1 000,00 reste dû : 27 830,10291
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 57,32546
Il reste dû en fin de mois : 27 830,10291 + 57,32546 = 27 887,42837

Mois 12
Il reste dû en début de mois : 27 887,42837 euros
Remboursement échéance n° 12 de 1 000,00 reste dû : 26 887,42837
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 55,38370
Il reste dû en fin de mois : 26 887,42837 + 55,38370 = 26 942,81207

Mois 13
Il reste dû en début de mois : 26 942,81207 euros
Remboursement échéance n° 1 de 1 100,00 reste dû : 25 842,81207
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 53,23196
Il reste dû en fin de mois : 25 842,81207 + 53,23196 = 25 896,04403

Mois 14
Il reste dû en début de mois : 25 896,04403 euros
Remboursement échéance n° 2 de 1 100,00 reste dû : 24 796,04403
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 51,07579
Il reste dû en fin de mois : 24 796,04403 + 51,07579 = 24 847,11982

Mois 15
Il reste dû en début de mois : 24 847,11982 euros
Remboursement échéance n° 3 de 1 100,00 reste dû : 23 747,11982
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 48,91518
Il reste dû en fin de mois : 23 747,11982 + 48,91518 = 23 796,03500

Mois 16
Il reste dû en début de mois : 23 796,03500 euros
Remboursement échéance n° 4 de 1 100,00 reste dû : 22 696,03500
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 46,75012
Il reste dû en fin de mois : 22 696,03500 + 46,75012 = 22 742,78512

Mois 17
Il reste dû en début de mois : 22 742,78512 euros
Remboursement échéance n° 5 de 1 100,00 reste dû : 21 642,78512
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 44,58059
Il reste dû en fin de mois : 21 642,78512 + 44,58059 = 21 687,36571

Mois 18
Il reste dû en début de mois : 21 687,36571 euros
Remboursement échéance n° 6 de 1 100,00 reste dû : 20 587,36571
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 42,40660
Il reste dû en fin de mois : 20 587,36571 + 42,40660 = 20 629,77231

Mois 19
Il reste dû en début de mois : 20 629,77231 euros
Remboursement échéance n° 7 de 1 100,00 reste dû : 19 529,77231
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 40,22813
Il reste dû en fin de mois : 19 529,77231 + 40,22813 = 19 570,00045

Mois 20
Il reste dû en début de mois : 19 570,00045 euros
Remboursement échéance n° 8 de 1 100,00 reste dû : 18 470,00045
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 38,04518
Il reste dû en fin de mois : 18 470,00045 + 38,04518 = 18 508,04562

Mois 21
Il reste dû en début de mois : 18 508,04562 euros
Remboursement échéance n° 9 de 1 100,00 reste dû : 17 408,04562
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 35,85772
Il reste dû en fin de mois : 17 408,04562 + 35,85772 = 17 443,90335

Mois 22
Il reste dû en début de mois : 17 443,90335 euros
Remboursement échéance n° 10 de 1 100,00 reste dû : 16 343,90335
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 33,66576
Il reste dû en fin de mois : 16 343,90335 + 33,66576 = 16 377,56911

Mois 23
Il reste dû en début de mois : 16 377,56911 euros
Remboursement échéance n° 11 de 1 100,00 reste dû : 15 277,56911
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 31,46929
Il reste dû en fin de mois : 15 277,56911 + 31,46929 = 15 309,03840

Mois 24
Il reste dû en début de mois : 15 309,03840 euros
Remboursement échéance n° 12 de 1 100,00 reste dû : 14 209,03840
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 29,26829
Il reste dû en fin de mois : 14 209,03840 + 29,26829 = 14 238,30670

Mois 25
Il reste dû en début de mois : 14 238,30670 euros
Remboursement échéance n° 1 de 1 200,00 reste dû : 13 038,30670
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 26,85678
Il reste dû en fin de mois : 13 038,30670 + 26,85678 = 13 065,16347

Mois 26
Il reste dû en début de mois : 13 065,16347 euros
Remboursement échéance n° 2 de 1 200,00 reste dû : 11 865,16347
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 24,44029
Il reste dû en fin de mois : 11 865,16347 + 24,44029 = 11 889,60377

Mois 27
Il reste dû en début de mois : 11 889,60377 euros
Remboursement échéance n° 3 de 1 200,00 reste dû : 10 689,60377
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 22,01883
Il reste dû en fin de mois : 10 689,60377 + 22,01883 = 10 711,62260

Mois 28
Il reste dû en début de mois : 10 711,62260 euros
Remboursement échéance n° 4 de 1 200,00 reste dû : 9 511,62260
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 19,59239
Il reste dû en fin de mois : 9 511,62260 + 19,59239 = 9 531,21499

Mois 29
Il reste dû en début de mois : 9 531,21499 euros
Remboursement échéance n° 5 de 1 200,00 reste dû : 8 331,21499
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 17,16094
Il reste dû en fin de mois : 8 331,21499 + 17,16094 = 8 348,37592

Mois 30
Il reste dû en début de mois : 8 348,37592 euros
Remboursement échéance n° 6 de 1 200,00 reste dû : 7 148,37592
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 14,72448
Il reste dû en fin de mois : 7 148,37592 + 14,72448 = 7 163,10041

Mois 31
Il reste dû en début de mois : 7 163,10041 euros
Remboursement échéance n° 7 de 1 200,00 reste dû : 5 963,10041
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 12,28301
Il reste dû en fin de mois : 5 963,10041 + 12,28301 = 5 975,38342

Mois 32
Il reste dû en début de mois : 5 975,38342 euros
Remboursement échéance n° 8 de 1 200,00 reste dû : 4 775,38342
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 9,83651
Il reste dû en fin de mois : 4 775,38342 + 9,83651 = 4 785,21993

Mois 33
Il reste dû en début de mois : 4 785,21993 euros
Remboursement échéance n° 9 de 1 200,00 reste dû : 3 585,21993
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 7,38497
Il reste dû en fin de mois : 3 585,21993 + 7,38497 = 3 592,60489

Mois 34
Il reste dû en début de mois : 3 592,60489 euros
Remboursement échéance n° 10 de 1 200,00 reste dû : 2 392,60489
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 4,92837
Il reste dû en fin de mois : 2 392,60489 + 4,92837 = 2 397,53327

Mois 35
Il reste dû en début de mois : 2 397,53327 euros
Remboursement échéance n° 1 1 de 1 200,00 reste dû : 1 197,53327
Les intérêts du mois au taux de 0,205983627 % par mois sont de 2,46672
Il reste dû en fin de mois : 1 197,53327 + 2,46672 = 1 199,99999

Mois 36
Il reste dû en début de mois : 1 199,99999 euros
Remboursement échéance n° 12 de 1 200,00 reste dû : -0,00001
FIN

Je laisse au lecteur le soin d'arrondir.


Il faut trouver ce résultat en appliquant la formule de mathématiques financières

pascal16
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Re: Mahtématique financière

par pascal16 » 05 Oct 2018, 20:22

Merci.
Tableau fait, même résultat.
Quand je prenais en exemple les pub de la TV, j'avais remarqué qu'en arrondissant les intérêts au centime supérieur, les résultats étaient exactes.
J'ai refait un tableau d'amortissement avec arrondi au centime supérieur : 138150.75€

Armath
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Re: Mahtématique financière

par Armath » 15 Oct 2018, 17:58

Bonjour!

Merci du temps passer sur ce problème.

Pourquoi ne pas utiliser le taux dit "proportionnel" ?

De plus je n'arrive pas à trouver le bon résultat (désolé) possible de partager le fichier de calcul excel ?

Merci encore !

pascal16
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Re: Mahtématique financière

par pascal16 » 15 Oct 2018, 18:15

la V actuelle du premier mois est 1000,
puis arrive à 1200/(1+Tmens)^35 pour le dernier


Tmens = 0,205983627 %
remplace ce 35 par m-1 où m est le m ième mois.
fait ma somme de toutes le V actuelles

Armath
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Re: Mahtématique financière

par Armath » 15 Oct 2018, 18:43

Merci Pascal pour l'aide !!!!

SAGE63
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Re: Mahtématique financière

par SAGE63 » 16 Oct 2018, 08:47

Bonjour à tous

D - DETERMINATION DU MONTANT DU CAPITAL EMPRUNT

Le montant du capital emprunté, au montant de la souscription dudit enprunt est égal
au montant des 3 valeurs actuelles au montant de la souscription dudit enprunt des groupes d'échéances remboursées

1) Détermination de la valeur actuelle au moment de la souscription de l'emprunt du premier groupe des
mensualités de 1 000,00 euros :

Ces mensualités ont été remboursées du mois 1 au mois 12
après la souscription de l'emprunt.

La valeur actuelle de ce groupe de 12 mensualités de 1 000,00 euros est la suivante :

V(0) = { a(d) * [1- (1+i) ¯ⁿ ] / i } (1 + i)

avec :
a(d) = 1 000,00
i = 0,0020598363 pour 1
(1+i) = 1,0020598363
n = 12
On a :

V(0) = { 1 000,00 * [ 1 - ( 1,002059836 ¯ⁿ] / 0,0020598363 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 000,00 * [ 1 -0,975610 ] / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 000,00 * 0,024390 / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = 24,390244 / 0,002059836 * 1,002059836
V(0) = 11 840,865344 * 1,002059836
V(0) = 11 865,255588

Le total des valeurs actuelles des 12 premiers remboursement à la date de de souscription de l'emprunt est de 11 865,255588

2) Détermination de la valeur actuelle au moment de la souscription de l'emprunt du deuxième groupe des
mensualités de 1 100,00 euros :

Ces mensualités ont été remboursées du mois 13 au mois 24
depuis la souscription de l'emprunt.

a) La valeur actuelle de ce groupe de 12 mensualités de 1 100,00 euros
12 mois après la souscription de l'emprunt est de :

V(0) = { a(d) * [1- (1+i) ¯ⁿ ] / i } (1 + i)

avec :
a(d) = 1 100,00
i = 0,0020598363 pour 1 1,025
(1+i) = 1,0020598363
n = 12
On a :

V(0) = { 1 100,00 * [ 1 - ( 1,002059836 ¯ⁿ] / 0,0020598363 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 100,00 * [ 1 -0,975610 ] / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 100,00 * 0,024390 / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = 26,829268 / 0,002059836 * 1,002059836
V(0) = 13 024,951879 * 1,002059836
V(0) = 13 051,781147

La valeur actuelle de 13 051,781147 est calculée à la date du paiement de la 13 ème mensualité
soit 1 an après la date d'obtention de l'emprunt.

b) La valeur actuelle à la date de l'obtention de l'emprunt est de :

13 051,781147 / 1,025000 = 12733,44502

Le total des valeurs actuelles des remboursements n° 13 à n° 24 à la date de souscription de l'emprunt est de : 13 051,781147


3) Détermination de la valeur actuelle au moment de la souscription de l'emprunt du toisième groupe des
mensualités de 1 200,00 euros :

Ces mensualités ont été remboursées du mois 25 au mois 36
depuis la souscription de l'emprunt.

a) La valeur actuelle de ce groupe de 12 mensualités de 1 200,00 euros est la suivante :
24 mois après la souscription de l'emprunt est de :

V(0) = { a(d) * [1- (1+i) ¯ⁿ ] / i } (1 + i)

avec :
a(d) = 1 200,00
i = 0,0020598363 pour 1
(1+i) = 1,0020598363
n = 12
On a :

V(0) = { 1 200,00 * [ 1 - ( 1,002059836 ¯ⁿ] / 0,0020598363 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 200,00 * [ 1 -0,975610 ] / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = { 1 200,00 * 0,024390 / 0,002059836 } * 1,0020598363
V(0) = 29,268293 / 0,002059836 * 1,002059836
V(0) = 14 209,038413 * 1,002059836
V(0) = 14 238,306706

La valeur actuelle de 14 238,306706 est calculée à la date du paiement de la 25 ème mensualité
soit 2 ans après la date d'obtention de l'emprunt.

b) La valeur actuelle à la date de l'obtention de l'emprunt est de :

14 238,306706 / 1,02500 ² =
14 238,306706 / 1,050625 = 13 552,22530

Le total des valeurs actuelles des remboursements n° 13 à n° 24 est de 12 premiers remboursement est de 13 552,225300

4) Montant du capital emprunté

Ce capital est égal à la valeur actuelle de chaque groupe de remboursements :

11 865,25559 + 12 733,44502 + 13 552,22530 = 38 150,92591

Dans le tableau d'emprunt le capital emprunté figure pour la somme de 38 150,92590

Je laisse au lecteur le soin de trouver la "formule globale".

 

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