Loi de poisson, loi binomiale, loi normale

[Cohen98]

Bonjour,

Je suis en première année de licence de gestion.
Je fais des exercices pour préparer mon partiel et je ne comprends pas la suite des questions.

J'ai à faire à une loi Binomiale de paramètre n=302 et p=0,01
On m'a demandé de faire une approximation de cette loi, j'ai donc dit que cette loi pouvait être rapprochée à la loi de poisson avec u=3,02 (=nxp) et écart type = 1,729 (c'est la racine de 302x0,01x0,99)

On m'a demandé de calculer P(X=0) , p(X=1) et p(X=2) avec la loi binomiale et avec la loi de poisson.
J'ai trouvé P(x=0) =0,048
p(X=1) = 0,147
P(x=2)=0,223

Ensuite on me dit de vérifier mes réponses à la deuxième question en stimulant les fonctions de répartitions B(X), P(X) et N(X) sur l'intervalle [0;2]
Sauf que j'ai déjà trouvé les probabilités avec les lois binomiale et poisson. Je dois calculer ces probabilités avec la loi normale mais je ne connais pas son écart type donc je ne sais pas comment faire.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer je lui serais reconnaissante.

Merci d'avance,
Cordialement

Sara

[Lostounet]

Bonjour

Quelle probabilité faut-il calculer au juste? P(1<= X <= 2) ?

Car P(X=1)=0 si X suit la loi normale.. c'est une loi à densité, où les "points" n'ont aucune masse. La question me semble un peu floue...
Avez-vous vu des conditions en cours pour approcher la loi binomiale par la loi normale?

[Cohen98]

Merci pour votre réponse aussi rapide

Il faut calculer d'abord P(X=0), ensuite P(X=1) puis P(X=2)

En fait on cherche à comparer les probabilités trouvées pour montrer que l'approximation par la loi de poisson est plus judicieuse que l'approximation par la loi normale

J'ai le corrigé mais je ne le comprends pas du tout.
On me dit que p(X=xo) = p(Z=zo)/écart type de X

Le corrigé dit que la loi normale a comme paramètre u=3,02 et comme écart type 1,729..

[pascal16]

on a bien n>30 et p <0.1, l'approximation par la loi de Poisson a un sens

Comme Lostounet, je trouve la question un peu floue, quand on passe d'une VA discrète à une continue, il faut "englober" la valeur

p(X=1) sur une loi binomiale s'approxime par p( 0.5 < X < 1.5) sur une loi normale.

la loi normale a pour espérance np et comme écart type ⎷np(1-p)
mais ici, on ne vérifie pas les critères classiques de convergence, la valeur trouvée ne va pas être très précise à moins que dans ton cours, tu ais une astuce

[Cohen98]

Merci pascal16

J'ai donc mes paramètres de loi normale qui sont u=3,02 et écart type =1,729 (c'est ce que donne la formule j'ai réussi)

Et maintenant il faut que je calcule P(X=0), p(X=1) et p(X=2) avec la loi normale

Sauf que d'habitude j'ai quelque chose du genre P(X<xo) ou P((X>xo), je centre et je réduis en faisant P(Z<(xo-u)/écart type) et je recherche la valeur du zo dans la table de la loi normale centrée réduite.
Là on me demande P(X=0) donc ca fait P(Z=-3,02/1,729) ou ça ne marche pas quand on a quelque chose de la forme P(X=xo) ? Je suis bloquée je ne sais pas comment trouver la probabilité

[pascal16]

p(X=1) sur une loi binomiale s'approxime par p( 0.5 < X < 1.5) sur une loi normale.

[Lostounet]

Merci pour votre réponse aussi rapide

Il faut calculer d'abord P(X=0), ensuite P(X=1) puis P(X=2)

En fait on cherche à comparer les probabilités trouvées pour montrer que l'approximation par la loi de poisson est plus judicieuse que l'approximation par la loi normale

J'ai le corrigé mais je ne le comprends pas du tout.
On me dit que p(X=xo) = p(Z=zo)/écart type de X

Le corrigé dit que la loi normale a comme paramètre u=3,02 et comme écart type 1,729..

En fait, il semblerait qu'ils ont pris comme paramètres les mêmes que ceux de la loi binomiale.
Si X suit la loi binomiale avec paramètres n et p, ici n = 301 et p = 0.01 , nous savons qu'alors la moyenne (ou "espérance") est donnée par et sa variance vaut: . Comme l'écart-type noté est égal à la racine carrée de la variance,


Ainsi, ils ont cherché à comparer avec X suivant la loi normale de paramètres (sa moyenne) et son écart-type: .
En général, tu ne peux pas faire ces calculs à la main, donc ou bien tu utilises la calculatrice, ou bien tu lis les probabilités dans un tableau.

En général, par exemple dans un examen, tout tableau faisant figurer la loi normale va seulement te donner des valeurs pour une variable aléatoire Z qui suit une loi normale de probabilités et .

Vu que tu souhaites que , et que , tu peux exprimer X en fonction de Z: , c'est à dire que.

Donc pour lire dans le tableau, tu sais qu'elle est égale à .

Ce calcul ressemble-t-il à quelque chose dans ton corrigé? Ou faut-il mener un autre calcul?

Je ne comprends pas du tout comment ils se permettent d'écrire P(X = x_0) avec X suivant une loi normale (ceci est rigoureusement égal à 0)... Les points n'ont pas de masse de probabilité, c'est totalement flou ce qu'ils font.

[Cohen98]

D’accord pascal 16
donc p(x=2) s’approxime par p(1,5<x<1,5) dans la même logique ?
Et qu’en est il de p(x=0) dans ce cas? Il faut chercher p(-0,5<x<0,5) , je centre et je réduis et je cherche avec ma table ?

[Lostounet]

@Pascal: Pourquoi P(-0.5<x<0.5) et pas P(-0.1<x<0.1) dans ce cas?

[Cohen98]

Lostounet, je ne pense pas que ce soit ça

Dans mon corrigé c’est ecrit p(x=0) = p(z=-1,729)/1,729= 0,050
Je ne sais pas comment ils font pour trouver la valeur du zo sans la table justement ..

P(x=1)= p(z=-1,168)/1,729=0,117

[pascal16]

@Lostounet : sur une loi binomiale, la probabilité de l'événement 1 : p(X=1) est l'aire du rectangle qui fait 1 de large et p(X=1) de haut. C'est en fait une intégrale. Quand on approxime la loi binomiale en un point par une loi normale, il faut faire l'intégrale sur intervalle de longueur 1. On prend la valeur +/- 0.5.

pour P(X=0) en binomiale, avec p(-0.5<X<0.5) en loi normale on a p=0.0516
a priori, il existe d'autres méthodes car la correction propose une autre solution, certes proche. De plus on est en dehors de critère de convergence, mais je pense que c'est un peu le but de l'exercice : montrer que pour p très petit, la loi de Poisson est la meilleur comme approximation.

[Lostounet]

Bon, en fait ils font ce qu'on appelle "une correction de continuité".
Je me suis toujours posé des questions sur ces 'approximations' bizarres... encore plus après avoir vu le théorème central limite et les convergences en loi/probabilité... Je ne sais jamais si c'est asymptotique ou pas.. on dirait que ces bidouillages sont entre le n petit et le n qui a été passé à la limite.

[Cohen98]

D’accord je vous remercie
Pascal je vais essayer votre méthode demain et voir si je trouve les mêmes résultats, mais la vôtre me paraît pour logique et compréhensible que celle du corrigé

[pascal16]

@Lostounet : les stats en France ont été faites par des spécialiste des stats.
L'intégrale pour les stat, c'est bien la bonne définition et ici, on cherche simplement à estimer une valeurs. Que des grands principes donnent des convergence en +oo ne donne pas la meilleur méthode pour n =300. Il y a des pages entières de "meilleur estimateur" suivant les valeurs. Ici, clairement, c'est Poisson le mieux car p est proche de 0, c'est une "loi des événements rares" qu'il nous faut.
La méthode -+ 0.5 est au programme de certains BTS, elle se justifiable par l'intégrale et sa bonne convergence.