Loi géométrique

[legeniedesalpages]

Bonjour,

Soiit des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre
( ). On note

[CENTER][/CENTER]

1. Que peut servir à modéliser .

2. Déterminer la loi de (on dit que suit la loi géométrique de paramètre , et on note cette loi ).

3. Calculer , , : la fonction de répartition de et : la fonction caractéristique de .

J'ai touvé que la loi de est ,

ainsi pour la fonction caractéristique, pour tout , on a :



là je ne sais pas si on peut simplifier davantage.

Merci pour votre aide.

[legeniedesalpages]

J'ai quelques problèmes aussi pour la suite de l'exercice:

4. on dit qu'une variable aléatoire est sans mémoire dans si les conditions suivantes sont vérifiées
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et
.[/CENTER]

(a) Interpréter cette propriété.

(b) Montrer que la fonction vérifie une certaine équation fonctionnelle.

(c) Résoudre cette équation puis en déduire que suit une loi géométrique de paramètre


Pour la (a), je ne vois pas vraiment ce qu'on me demande, j'ai dit que pour tous , la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisée est la même que celle de l'évènement .

Pour la (b) je fixe , on a pour tout entier
,

ie ,

mais à partir de cette équation, je ne vois pas comment déterminer et montrer que suit une loi géométrique de paramètre comme il est demandé en (c) :marteau:


Merci pour votre aide.