Loi géométrique et 1/X

[fdoo]

Bonjour,

Je rencontre des difficultés à résoudre le problème suivant. Auriez-vous une idée géniale ?

X est une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
Calculez l'espérance de 1/X

Je bute sur l'indice de somme au dénominateur, même en passant à l'exponentielle :mur:

D'avance merci !
A+

[Elsa_toup]

J'arrive pas à mettre le doigt dessus, mais c'est une histoire de dérivée.

Par exemple, si X suit une loi géométrique de paramètre p, pour calculer E[X] = somme (k>=0) {k(1-p)p^k}, tu poses f(p) = somme (k>=0) {(p^k)} = 1/(1-p)

Et f '(p) = somme (k>=1) {k * p^(k-1)} = somme (k>=1) {k*(p^k)/p} = -1/(1-p)²

Donc E[X] = p(1-p) / (1-p)² = p/(1-p).

Bon ben là c'est un truc comme ça.... Mais je retrouve pas.
Je vais chercher. j'espère que je t'ai donné une piste en tout cas :happy2:

[alben]

Bonsoir,

Utilise le développement limité de Ln(1/p)=-Ln[1-(1-p)] :id:

PS : pour moi, la loi géométrique c'est P(n) = p (1-p)^n. Elsa_toup inverse p et 1-p

[Elsa_toup]

Oui ca dépend de ta définiton, mais c'est le même principe ...
En fait avec ma méthode de dérivée, j'arrive à un résultat équivalent...

Une chose est sûre: il va y avoir des ln !!! (logique ceci dit....)

[alben]

Bien sur que ça ne change rien, simplement il faut quand même que l'on se comprenne quand on dit p.

Une chose est sûre: il va y avoir des ln

Non ce que je voulais dire c'est que le calcul de l'espérance est presque exactement le developpement du log

[BQss]

la loi commence en x=1 c'est a dire que si on l'interprete comme l'arrivée d'un premier evenement de type A, les evenements arrivent a x=1,2 etc et ne commence pas en 0, donc en fait p(x=n)=p(1-p)^(n-1) avec p la probabilité de A.
Ainsi p(x=0)=0 et on a pas de probleme pour definir l'esperance de 1/X.

donc c'est E(1/x)=somme(p(1-p)^(n-1)*1/n, de n=1 a l'infini)

E(x)=p/(1-p)*somme((1-p)^n/n, de n=1 à l'infini)
et ca c'est p/(1-p)*((1-p)+(1-p)^2/2+.....+(1-p)^(n)/n)=p/(1-p)*(-ln(1-(1-p))
=-p/(1-p)*ln(p) et comme p<1 en tant que probabilité on a bien une E(1/x)>0, ce qui est logique vu que X>=1 et donc 1/X>0

[fdoo]

Merci à tous pour votre aide !