Loi binomiale

[legeniedesalpages]

Bonjour,

Soient et i.i.d. . On définit .


Je voudrais écrire (la loi de ) comme une combinaison linéaire d'éléments de
( est appelée loi binomiale de paramètre et ).

Donc je sais que pour tout (), , mais je ne vois pas comment montrer que .

Merci pour votre aide.

[legeniedesalpages]

Bon je crois que j'ai trouvé, je sais pas si c'est bien exprimé.

Disons que toutes ces variables aléatoires sont définies sur et à valeurs dans .

On a clairement .

Soit . Notons l'ensemble des parties de qui ont éléments, donc .

L'évènement s'écrit comme la réunion disjointe des évènements , avec ,

ie .

Comme les sont i.i.d., on a pour tout ,

.

Par -additivité de , on a donc .


D'où pour tout , .

Comme est fini, et que et coïncident sur tout singleton, par -additivité, ces deux mesures coïncident sur