Limite de tan(x)^cotan(4x)

[sarah79]

je dois trouver la limite quand x tend vers pi/4 de tan(x)^cotan(x), je ne sais pas par où commencer.
Je pensais poser u=x-pi/4 pour évaluer la limite en 0 mais je ne vois pas vraiment si sa m'arrange?
Pouvez vous m'aider?

[fatal_error]

salut,

a lexponentielle
exp(cotan(x)ln(tan(x))
ln(tan(x)) ca doit donner du ln(1)=0,
et cotan(pi), ca doit donner qqch genre une constante, qui, multipliée par 0 donne 0.

non?
edit : ok, cotan et pas atan...

[sarah79]

non je suis censé trouvé que ça donne racine de e.

[Black Jack]

tan(Pi/4) = 1
cotg(Pi/4) = 1

lim(x--> Pi/4) [(tan(x))^(cotg(x)] = 1^1 = 1

Et s'il s'agit de lim(x--> Pi/4) [tan((x)^(cotg(x))], on aurait :

lim(x--> Pi/4) [tan((x)^(cotg(x))] = tan((Pi/4)^1) = 1

Et donc ??????????

:zen:

Edit :

Je viens juste de remarquer que la limite du titre du topic n'est pas la même que celle dans le corps de la question.
:briques:

[Black Jack]

f(x) = (tg(x))^cotg(4x)

ln(f(x)) = cotg(4x) * ln(tg(x)

ln(f(x)) = ln(tg(x) / tg(4x)

lim( x--> Pi/4) [ln(f(x)) ] = lim( x--> Pi/4) [ln(tg(x) / tg(4x)] est de la forme 0/0 --> application de la règle de Lhospital.

lim( x--> Pi/4) [ln(f(x)) ] = lim( x--> Pi/4)[(1/(cos²(x).tg(x))) / (4/cos²(4x))] = lim( x--> Pi/4) [cos²(4x)/(2.sin(2x))] = 1/2

Et donc lim( x--> Pi/4) [f(x)] = e^(1/2)

Méthode évidemment interdite si la règle de Lhospital n'a pas été enseignée.


:zen:

[sarah79]

c'est limite de tanx^cotan(4x) jme suis trompé dans l'énoncé

[sarah79]

jai mi tanx^cotan(4x) sous la forme e^(cotan(pi+4u)ln(tan(pi/4+u))) avec x=pi/4+u

cotan(pi+4u)=cos(4u)/sin(4u) ce qui équivaut a 1/(4u) au vois. de 0.

jai dit que tan(u+pi/4)=(tan(u)+1)/(1-tan(u))

tan(u+pi/4) tend vers 1 qd x tend vers 0 dc ln(tan(u+pi/4)) equivaut a tan(u+pi/4)-1 au vois.de 0.

et donc ln(tan(u+pi/4)) equivaut a 2tan(u)/(1-tan(u)) au vois. de 0.

il reste plus qu'a multiplié les deux résultats mais je ne trouve pas 1/2 pour après dire que la limite est e^1/2 ???

[Ericovitchi]

(1+tan u)/ (1-tan u) ~ 1+2u
et ln (1+2u) ~ 2u
donc ta fonction est bien équivalente à e^((1/4u) .2u)=e^(1/2)

[sarah79]

comment sais tu que 1+tan(u) / 1-tan(u) equivaut a 1+2u?

[Ericovitchi]

tan u ~ u et 1/(1-u)~ 1+u
donc
(1 + tan u) (1-tan u) ~ (1+u)/(1-u) ~ (1+u)(1+u)~ 1+2u

[sarah79]

JE sui désolé je commence les équivalences en cours dc la jai du mal a voir pk 1/(1-u) équivaut a 1+u et pk (1+u)(1+u) equivaut a 1+2u

[sarah79]

C'est bon j'ai compris c'est a partir des développements limités des fonctions.

Merci pour l'aide.