Limite

[khadi8]

salut tout le monde j'ai une suite dont j'arrive pas à trouver sa limite la voilà
lim(n->+00) (a^n /n!) , a>= 1
merci d'avance

[Ericovitchi]

Par équivalence, si on se souvient que
(Formule de Stirling)

[Nightmare]

Sinon on peut utiliser le critère de d'Alembert appliqué à la série de terme général a^n/n!

[khadi8]

ah ok je connais pas cette formule
merci pour l'aide

[Ericovitchi]

ha oui effectivement c'est plus simple et plus élégant.

[khadi8]

Sinon on peut utiliser le critère de d'Alembert appliqué à la série de terme général a^n/n!

je connais pas ce critère tu peux m'expliquer stp
merci

[Ericovitchi]

Tiens il y a une démo marrante.
pas définition
Si la série est convergente c'est que son terme général tends vers zéro.

Sinon le critère de d'Alembert, c'est proche. Ca dit que si Un+1/Un tends vers une limite r <1 alors la série converge

[Nightmare]

Tiens il y a une démo marrante.
pas définition
Si la série est convergente c'est que son terme général tends vers zéro.

Sinon le critère de d'Alembert, c'est proche. Ca dit que si Un+1/Un tends vers une limite r <1 alors la série converge

Pour poser e^a = la somme, cela suppose qu'on sait déjà que la série converge non?

[khadi8]

ah c'est ça le critère de d'Alembert
merci

[Ericovitchi]

oui tu as raison. Donc le bon ordre des choses c'est de montrer qu'elle converge par d'Alembert.

[khadi8]

oui je suis d'accord avec toi pcq on utilisons (Formule de Stirling) ça deviens compliqué mais on utilisons le critère de d'Alembert on peux pas trouver la limite exacte et le but de mon exo c'est bien trouver la limite
bref, le limite normalement c'est 0 mais je c'est pas comment ils ont trouver ce 0

[Ericovitchi]

tu écris Un+1/Un et tu montres que ça tends vers zéro
donc la limite de Un est zéro car si Un tendait vers L alors Un+1/Un tendrait vers L/L=1 et pas zéro

[khadi8]

Un = an/n!
Dans la suite, je suppose a > 0, sinon tu remplaces a par |a|
Pose N = E(a)+1 E(x) : fonction partie entière de x
Alors, pour tout n > N :
Un : [(a/1)(a/2)...(a/N)][(a/(N+1))(a/(N+2))...(a/(n-1))(a/n)]
Le terme entre la première paire de crochets ne dépend pas de n, appelons-le K
Compte-tenu du choix de N, les termes a/(N+1), a/(N+2),...(a/(n-1) sont tous < 1
Finalement, le terme entre la seconde paire de crochets est < (a/n)
Donc Un < K(a/n)

j'ai cette solution mais j'ai pas bien compris les démarches si qq1 a compris me fais comprendre
merci