Limite

par **Anonyme** » 19 Oct 2005, 23:14

Bonsoir.

Petit soucis avec un exercice de limite en cette soirée d'octobre...
Voici l'éxercice :

Déterminer les constantes réelles a, b, c de sorte que la fonction définie par

cos(x) + sin(x) ;) a ;) b ln(1 + x) ;) c sin2(x)
----------------------------------------------
x^2

tende vers 0 lorsque x tend vers 0.

J'immagine qu'il faut calculer la limite de cette fonction quand x tends vers 0 puis de trouver a, b et c
par identification, mais je n'arrive pas à faire ce calcul...

J'ai pensé aux équivalences, mais cela ne fonctionne pas a cause des additions...

Si vous avez mieu ;)
Merki !

par **boulay59** » 20 Oct 2005, 00:15

Mieux que les équivalents : les développements limités !

par **Chimerade** » 20 Oct 2005, 00:17

Bistoukette a écrit:Bonsoir.

Petit soucis avec un exercice de limite en cette soirée d'octobre...
Voici l'éxercice :

Déterminer les constantes réelles a, b, c de sorte que la fonction définie par

cos(x) + sin(x);)a;)b ln(1 + x) c sin2(x)
----------------------------------------------
x^2

tende vers 0 lorsque x tend vers 0.

J'immagine qu'il faut calculer la limite de cette fonction quand x tends vers 0 puis de trouver a, b et c
par identification, mais je n'arrive pas à faire ce calcul...

J'ai pensé aux équivalences, mais cela ne fonctionne pas a cause des additions...

Si vous avez mieu
Merki !

C'est juste ! les équivalences, ça ne suffit pas. Il faut prendre des développements limités jusqu'au degré 3.

J'appelle N le numérateur :

Pour que l'expression tende vers 0 il faut que les trois premiers coefficients du numérateur soient nuls...

par **Anonyme** » 20 Oct 2005, 09:09

Merci beaucoup à vous deux !
J'ai encore une question, j'ai un problème avec les devellopements limités.

Comment savoir a quel ordre ont doit les utiliser?? (Ici : degré 3)

Merki !

par **Anonyme** » 20 Oct 2005, 09:26

De plus, n'y a t-il pas un problème avec le X^2 au dénominateur.
Car si on à le numérateur nul quand x tends vers zéro, on a aussi x^2 tends vers 0 quand x tends vers zéro...

Non ?

par **Chimerade** » 20 Oct 2005, 12:00

Bistoukette a écrit:De plus, n'y a t-il pas un problème avec le X^2 au dénominateur.
Car si on à le numérateur nul quand x tends vers zéro, on a aussi x^2 tends vers 0 quand x tends vers zéro...

Non ?

Oui, chère Bistoukette ! Je te rappelle que c'est le principe du jeu. Tu as un numérateur qui tend vers 0 et un dénominateur qui tend vers 0, d'où la forme indéterminée.
C'est le développement d'ordre 3 qui nous a dit que le numérateur était au moins d'ordre 3, puisqu'on a pu mettre x^3 en facteur ! et (x^3)/x² ça fait toujours x même quand x est petit ! Donc tu simplifie par x², tu te retrouves avec un x facteur d'un truc qui est borné ou qui tend vers 0 donc la fraction tend vers 0 !
Si le numérateur est équivalent à x et le dénominateur à x² le rapport est équivalent à 1/x et tend vers l'infini.
Si le numérateur est équivalent à kx² et le dénominateur à x² le rapport est équivalent à k et tend vers k.
Si le numérateur est équivalent à kx^3 et le dénominateur à x² le rapport est équivalent à kx et tend vers 0.

Pour répondre à ta question "Comment savoir à quel ordre il faut développer les développements finis ?" La réponse est "je ne sais pas !". Je ne connais pas de règles, c'est juste une question de deviner. Si on développe à l'ordre 3 et qu'on s'aperçoit que cela ne résouds pas le problème, on est obligé de tout recommencer avec l'ordre 4, puis l'ordre 5, etc...

Essaie un peu de trouver un équivalent de tan(sin(x))-sin(tan(x)) ! Si ma mémoire est bonne, il faut aller jusqu'à l'ordre 5 ! On commence à l'ordre 1 et on s'aperçoit que le coefficient de x est 0 ! Zut, allons à l'ordre 2 : même chose ! Et ainsi de suite. Il arrive un moment où l'on trouve que

, avec k non nul ! Ouf, c'est fini !

Il n'y a pas de règle ! Plus exactement, je n'en connais pas ! Faux avoir du nez !

par **LN1** » 20 Oct 2005, 12:15

Dans le cas présent, un développement limité d'ordre 2 est nécessaire et suffisant car il faut simplement pouvoir simplifier par x²

La question est différente si tu cherches, non pas une limite mais un équivalent comme te l'explique très bien chimerade

par **Chimerade** » 20 Oct 2005, 12:44

LN1 a écrit:Dans le cas présent, un développement limité d'ordre 2 est nécessaire et suffisant car il faut simplement pouvoir simplifier par x²

Très juste !

par **Anonyme** » 20 Oct 2005, 16:36

Alors là... J'ai pas tout compris...

Et je ne vois pas comment on trouve a, b et c.

J'ai essayé de faire les developpement limités a l'ordre 3 et de simplifier (pareil a l'ordre 2)... mais je suis toujours coincé...

par **Chimerade** » 20 Oct 2005, 16:43

Bistoukette a écrit:Alors là... J'ai pas tout compris...

Et je ne vois pas comment on trouve a, b et c.

J'ai essayé de faire les developpement limités a l'ordre 3 et de simplifier (pareil a l'ordre 2)... mais je suis toujours coincé...

Je ne comprends pas ! Tu n'as plus rien à faire : juste recopier ce que j'ai écrit !

par **Anonyme** » 20 Oct 2005, 16:59

Je crois avoir pigé ce que tu voulais m'éxpliquer !

On a le numérateur :

Si on arrive a montrer

Alors notre fonction de départ est de la forme

Qui tends vers 0 dans x tends vers 0 !

Merki bien !

par **Chimerade** » 20 Oct 2005, 18:11

Bistoukette a écrit:Je crois avoir pigé ce que tu voulais m'éxpliquer !

Tu as pigé !

Bistoukette a écrit:Merki bien !

De lien !

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