Limite

[Sylar]

Bonjour,je bloque sur le calcul de la limite suivante:

lim(n-> +inf)[ [Sum(k=1..n) (1/ sqrt(n+k)) ] - n ]

Merci ....

[quinto]

Salut, si tu cherches la même limite mais où tout est divisé par n, c'est une somme de Riemann non ?

[quinto]

Ou peut être pas finalement ...

[Sylar]

Non l'énoncé est bien celui la .....

[alben]

Bonjour,
Comme indiqué par Quinto, on peut écrire

que l'on peut encadrer avec une intégrale entre 0 et 1..
Le n soustrait l'emporte !

[alben]

Quand même, il doit y avoir un problème d'énoncé, la somme tend vers 0 et on peut même se contenter de majorer grossièrement chaque terme par 1/racine(n), ce qui donne une somme majorée par racine(n). C'est un peu trop facile

[Sylar]

Ah oui désolé ,merci de m'avoir répondu j'ai fais une erreur d'énoncé.

Voila l'énoncé correct:

lim(n-> +inf)[ (Sum(k=1..n) ch[ (1/ sqrt(n+k)) ]) - n ]

[Sylar]

Ah oui désolé ,merci de m'avoir répondu j'ai fais une erreur d'énoncé.

Voila l'énoncé correct:

lim(n-> +inf)[ (Sum(k=1..n) ch[ (1/ sqrt(n+k)) ]) - n ]

[Nightmare]

Salut :happy3:

On voit que lorsque n est assez grand,

Or

Montrons alors que notre suite que l'on note (un) à la même limite que la suite c'est à dire 1/2ln(2) (somme de Riemann).

D'après Taylor-Lagrange, pour tout x réel il existe t de ]0;1[ tel que

On a alors quelque soit k appartenant à {1,..,n} :
(en majorant k par n et sh(t) par sh(1))

d'où d'après l'inégalité triangulaire:
et la conclusion est immédiate.

:happy3:

[alben]

Bien Nightmare. Juste une petite correction : la limite de vn, c'est ln(2)/2

[Sylar]

Ah d'accord merci beaucoup

[Nightmare]

alben c'est ce que j'ai écrit non?

1/2ln(2) signifiait 1/2*ln(2) (on oublie les règles de priorité ? :lol3:)

[alben]

Bon, j'ai rien dit :scotch:
m'enfin j'ai un doute sur ta lecture des règles de priorité

[Nightmare]

Il faut déplacer ce post dans la section primaire :lol3:

1/2ln(2) signifie
1/(2ln(2)) signifie

:happy3:

[Sylar]

Fallait y penser a Taylor Lagrange !