Limite

[mehdi-128]

Bonsoir,

Montrer que si tend vers alors tend vers .
Montrer que la réciproque est fausse en utilisant l'exemple .

Si tend vers alors tend vers est trivial en utilisant

Par contre si tend vers je ne vois pas

[Tuvasbien]

prend des valeurs négatives à partir d'un certain rang donc pour assez grand donc

[mehdi-128]

Il existe un entier tel que pour

Pour

Mais comment montrer avec la définition que tend vers ? Car la fin je n'ai pas compris vous concluez directement.

[Tuvasbien]

Il faut montrer la chose suivante : . Soit alors , il existe tel que par définition de . En particulier, donc . Ce que j'ai fait est plus rapide et n'utilise pas les définitions, lorsque on s'intéresse à la limite d'une suite, on se place au voisinage de donc si je note tel que alors donc .

[mehdi-128]

Il y a un point que je n'ai pas compris. Dans votre démonstration vous considérez alors que dans la définition de la limite c'est .

[mehdi-128]

Et pour la 2, je ne vois pas comment calculer la limite de .

Pour moi cette suite n'est pas définie car n'est pas définie pour

[Tuvasbien]

Les deux définitions sont équivalentes puisque si diverge vers , alors elle est positive pour assez grand. Pour le 2), l'écriture n'a de sens que si ce qui n'est pas le cas ici. Ce n'est pas la définition de la puissance, ici tu peux écrire . Bien sur la suite de terme général n'a pas de limite puisque elle prend des valeurs arbitrairement grandes alors que son signe alterne. On demande de montrer que la réciproque est fausse, en notant il faut montrer que tend vers alors que ne diverge pas vers .

[mehdi-128]

D'accord merci, cette équivalence des définition peut être très utile. Elle n'a pas été mentionnée dans mon livre.
Il est trivial que diverge vers .

Maintenant démontrons que :
Raisonnons par l'absurde.
Dire que tend vers c'est dire que :
En prenant , il existe un rang tel que pour tout :
Prenons un entier plus grand que qui est impair, on obtient . Ce qui est absurde.

Démontrons aussi que :
Raisonnons par l'absurde.
Dire que tend vers c'est dire que :
En prenant , il existe un rang tel que pour tout :
Prenons un entier plus grand que qui est pair, on obtient . Ce qui est absurde.

[mehdi-128]

Vous êtes sûr qu'il y a équivalence entre :

et ?

Je ne vois qu'une implication en utilisant que si elle valable pour tout alors elle est valable pour

[Tuvasbien]

La démonstration de 2) est très bien, pour l'équivalence réciproque il faut utiliser le fait que si la définition avec est vraie, alors si il y deux cas possibles : si c'est bon, si en revanche on peut utiliser la première définition avec par exemple.

[mehdi-128]

D'accord merci.

(1)

(2)

est évident.

Montrons que

Soit .
Si , il existe un entier tel que pour on a :
Si : notons qu'on a alors
Comme , il existe un entier tel que pour on a :
Dans tous les cas l'existence d'un entier est assurée.