Limite

[zork]

Bonsoir

Soit une suite d'éléments de convergeant vers z
Alors quand z tend vers l'infini
Apparemment ce lemme est trivial lorsqu'on emploie le logarithme complexe
Comment faites vous cela?


merci de votre aide

[Manny06]

Bonsoir

Soit une suite d'éléments de convergeant vers z
Alors quand z tend vers l'infini
Apparemment ce lemme est trivial lorsqu'on emploie le logarithme complexe
Comment faites vous cela?


merci de votre aide

ecris (1+zn/n)^n=e^zn*ln(1+zn/n)/(zn/n) mais c'est une limite pour n tendant vers + infini

[paquito]

Bonsoir

Soit une suite d'éléments de convergeant vers z
Alors quand z tend vers l'infini
Apparemment ce lemme est trivial lorsqu'on emploie le logarithme complexe
Comment faites vous cela?


merci de votre aide

on utilise le logarithme! Déjà quand est réel, on passe par le d.l. d'ordre 2 de donc quand est complexe, on a pas de recette miracle!

[Doraki]

Je suis pas sûr que ce soit si trivial que ça vu que l'argument de 1+zn/n est en O(1/n) donc selon la constante (donc selon la taille de la limite de zn) même quand n tend vers l'infini c'est pas obligé d'avoir log((1+zn/n)^n) = n*log(1+zn/n) avec la définition usuelle du log

[zork]

pour info ce lemme sert dans la preuve du théorème limite central
en faites je m'apercois que ce lemme pas assez précis puisque dans le théorème limite central à un moment on fait un DL
du coup j'aurais plutôt pris ca:

quand z->+oo

du coup là avec ce que paquito a dit je peux employer le logarithme complexe:
pour |z|z
en prenant l'exponentiel je retrouve

Qu'en pensez vous?

[BiancoAngelo]

Salut zork,

Je me dis, en faisant un peu de calculs à la main, peut-être qu'on tombe sur quelque chose d'intéressant. Je me dis toujours ça :ptdr:
Si on considère que la suite étudiée converge(qu'on peut appeler , alors aussi et vers la même limite.



En mettant à la puissance 2n, on a :



Et quand on voit cette expression, "si on pouvait enlever les termes ne tendant pas vers l'infini", on tombe sur avec .

Ca montre qu'effectivement les termes en O(1/n²) n'ont pas d'importance...

D'ailleurs, je pense qu'on peut les "enlever" vue la technique utilisée dans le domaine réel (vu qu'on est dans le domaine réel).

Bref :lol3:

[zygomatique]

salut

peut-être une idée ....

posons


(f_n) converge (simplement) vers exp (pour tout x fixé f_n(x) converge vers exp(x))

f_n est continue ...

(z_n) converge vers a (je note a la limite pour distinguer de la variable z)

il existe un entier N tel que n > N ==>

(f_n) continue est uniformément continue sur le compact D(0, 2|a|) donc converge uniformément vers exp

f_n(z_n) converge vers exp(z_n)



voila ... à voir bien sur ....

[Ben314]

Salut,
A mon avis, il vaut mieux, si possible éviter de passer par le logarithme complexe (c.f. remarque de Doraki).
Perso., j'écrirais et où et tend vers 0.
On a alors :


donc