Limite

[zork]

Bonsoir

comment prouvez vous qu'une suite de fonction holomorphe qui converge uniformément sur tout compact va vers une holomorphe?

j'ai essayé de former la définition avec la limite:
soit , K compact, une suite de fonction holomorphe et je note f sa limite
comme il y a convergence uniforme,
, il existe N tel que pour n>N,
mais arrivé là je n'arrive pas à poursuivre

merci

[Ben314]

Salut,
Il suffit d'utiliser le fait que, si une fonction est holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé avec , alors, pour tout (disque ouvert) puis utiliser le fait que la convergence uniforme implique la convergence des intégrales.

Tu t'en sortira difficilement autrement, vu que, le résultat est totalement faux pour des fonctions réelles : une suite de fonction aussi régulières que tu veut peut très bien converger uniformément vers une fonction non dérivable.
C'est la "rigidité" des fonctions holomorphes qui fait que ça marche et c'est la même démarche que quand on montre par exemple le premier résultat surprenant, à savoir qu'une fonction C-dérivable est forcément C^infini (clairement faux dans R)