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par **jeje56** » 03 Mar 2010, 10:43

Bonjour,

Je sais que dans un EVN, si une application est continue, alors l'image de toute suite convergente tends vers l'image de la limite de la suite ; est-ce une équivalence ? Peut-on prouver la continuité en montrant l'égalité des limites pour une suite quelconque ?

Merci !

par **Doraki** » 03 Mar 2010, 11:18

La définition de la continuité c'est toujours que pour toute suite convergente, la suite des images converge vers l'image de la limite de la suite.

Si t'as eu une autre définition c'est que c'était pas une définition mais un théorème.

par **Ben314** » 03 Mar 2010, 11:27

Doraki a écrit:La définition de la continuité c'est toujours que pour toute suite convergente, la suite des images converge vers l'image de la limite de la suite.

Pour faire un peu le "pédant", il me semble que cela n'est vrai que dans un espace topo. dans lequel tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinage (par exemple un espace métrique, donc par exemple un e.v.n.).
Mais il me semble que c'est faux sur l'espace des fonctions de R dans R muni de la topo de la convergence simple.

En fait, tout dépend du fait de savoir jeje56 a "subi" un cours de topo générale ou pas...

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 11:49

Doraki a écrit:La définition de la continuité c'est toujours que pour toute suite convergente, la suite des images converge vers l'image de la limite de la suite.

Si t'as eu une autre définition c'est que c'était pas une définition mais un théorème.

Ce serait plutôt la définition de la continuité séquentielle qui, comme le signale Ben, coïncide avec la définition de la continuité dans un espace à base dénombrable de voisinage.

par **jeje56** » 03 Mar 2010, 14:52

Dac, merci à vous trois... Pas vraiment reçu de cours de topo générale, je suis en prépa capes actuellement ^^

par **Ben314** » 03 Mar 2010, 19:07

jeje56 a écrit:Dac, merci à vous trois... Pas vraiment reçu de cours de topo générale, je suis en prépa capes actuellement ^^

Dans ce cas, laisse tomber les "pédants" et écoute Doraki...

par **jeje56** » 04 Mar 2010, 10:54

Lol, ça marche ;-)

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