Limite et intégration

[joanie58]

Bonjour,

soit

Je dois calculer la limite et expliquer s'il est possible de permuter l'intégration et la limite

[Ben314]

mais je dois montrer que converge en mesure vers 0 pour pouvoir utiliser ce théorème et je n'y arrive pas.

Ben... non.
Ou alors ça veut dire que tu ne veut pas utiliser le théorème de C.V. dominé (ce qui n'est pas très malin...)

Dans les hypothèses du Th. de C.V. dominé, tu as une suite de fonctions fn, globalement majorée par une fonction g intégrable (ça, c'est fait) et qui converge simplement vers une fonction f (c'est là que tu en est : tu doit calculer la limite simple de tes fonctions fn)

[joanie58]

Ben... non.
Ou alors ça veut dire que tu ne veut pas utiliser le théorème de C.V. dominé (ce qui n'est pas très malin...)

Dans les hypothèses du Th. de C.V. dominé, tu as une suite de fonctions fn, globalement majorée par une fonction g intégrable (ça, c'est fait) et qui converge simplement vers une fonction f (c'est là que tu en est : tu doit calculer la limite simple de tes fonctions fn)

donc la j'ai calculer la limite simple de mes fonctions, est-ce que je peux alors dire




Juste de montrer que mes fonctions sont bornées et calculer leur limite me permet d'utiliser de théorème de convergence dominer de Lebesgue pour permuter la limite et le signe d'intégration?

[Ben314]

Oui : ce sont les seuls hypothèses à vérifier.
Par contre ta limite simple est fausse : si x=0 fn(x) ne tend pas vers 0.

(et je vois pas comment tu as pu faire "apparaitre" du log dans ton calcul, ni comment le c'est retrouvé au dénominateur)

[joanie58]

Oui : ce sont les seuls hypothèses à vérifier.
Par contre ta limite simple est fausse : si x=0 fn(x) ne tend pas vers 0.

(et je vois pas comment tu as pu faire "apparaitre" du log dans ton calcul, ni comment le c'est retrouvé au dénominateur)

oups j'ai oublier d'enlever le signe négatif devant le n quand jai dessendu ma fraction... ensuite j'ai juste appliquer la règle de l hopital...

[Ben314]

O.K. pour la règle de l'Hôpital (j'avais pas pensé que tu pouvait dériver par rapport à n...)
Mais attention quand même au cas particulier où x=0 et où ton truc ne marche pas vu que ln(1+x²)=0.
En fait fn(0) tend vers 1 et pas vers 0.
Bon, pour la suite ça change rien vu que cette valeur "exceptionnelle" ne rentre pas en ligne de compte pour le calcul de l'intégrale, mais... c'est mieux d'écrire un truc juste...

En plus, le fait que la limite (simple) des fonction fn soit une fonction f non continue (en 0), ça montre que la suite fn ne C.V. pas uniformément vers f et donc qu'on aurait pas pu utiliser le th. de C.V. uniforme pour conclure.

[joanie58]

Dans le fond, le théorème qu'on a vu en classe c'est celui-ci:

Soit une suite de fonctions mesurables t.q. converge en mesure vers F sur E. S'il existe une fonction sommable sur E

t.q. presque partout

alors

J'ai réussi à trouver et je me disais que étant donnée que alorsconverge presque partout vers 0, alors converge en mesure vers 0, alors je peux appliquer le théorème?

[Ben314]

Oui, c'est tout bon : fn converge effectivement "en mesure" vers la fonction nulle (i.e. elle converge simplement vers la fonction nulle sauf sur un ensemble de mesure nulle)

[joanie58]

Oui, c'est tout bon : fn converge effectivement "en mesure" vers la fonction nulle (i.e. elle converge simplement vers la fonction nulle sauf sur un ensemble de mesure nulle)

merciii pour ton aide!!