Limite et intégration

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les limites et l'intégration, mais j'ai un mal fou à avancer :

--
Soit f une fonction continue sur [0,1].
Etudier :



--

J'ai aucune idée comment procéder. Je suis vraiment bloqué, et ce depuis plusieurs jours.

J'ai essayer sur quelques exemples de fonctions mais aucun motif ne réapparait, je m'explique:

si f=0, c'est vite réglé : ça tend vers 0

si f est constante par exemple pour faire simple elle est constante égale à 2, après un petit calcul je trouve comme limite 1



Du coup, je vois pas du tout comment faire.

Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Maxmau]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les limites et l'intégration, mais j'ai un mal fou à avancer :

--
Soit f une fonction continue sur [0,1].
Etudier :



--

J'ai aucune idée comment procéder. Je suis vraiment bloqué, et ce depuis plusieurs jours.

J'ai essayer sur quelques exemples de fonctions mais aucun motif ne réapparait, je m'explique:

si f=0, c'est vite réglé : ça tend vers 0

si f est constante par exemple pour faire simple elle est constante égale à 2, après un petit calcul je trouve comme limite 1

si f est la fonction définie par : pour tout t de [0,1] f(t)=3t, alors après clacul je trouve comme limite !!


Du coup, je vois pas du tout comment faire.

Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Bj
idées:
Cht de variable u = nt
puis convergence dominée

[zygomatique]

salut

donc tout peut arriver ....

[Ben314]

Salut,
Je suis pas certain qu'un "marteau" style "convergence dominée" soit bien utile ici...

Tu écrit la définition (avec des epsilon) de la continuité de la fonction f en 0, tu en déduit un encadrement de l'intégrale de t.f(t) entre 0 et 1/n et... tu as ta réponse...

P.S. tu t'est gourré dans les calculs pour la fonction f(t)=3t : ça ne tend pas vers l'infini.

[jonses]

Salut,
Je suis pas certain qu'un "marteau" style "convergence dominée" soit bien utile ici...

Tu écrit la définition (avec des epsilon) de la continuité de la fonction f en 0, tu en déduit un encadrement de l'intégrale de t.f(t) entre 0 et 1/n et... tu as ta réponse...

P.S. tu t'est gourré dans les calculs pour la fonction f(t)=3t : ça ne tend pas vers l'infini.

Ah oui je suis débile ! :ptdr: ça tend vers 0

Au temps pour moi !

Merci beaucoup en tout cas !

J'étais vraiment bête, j'utilisais la continuité en 0 de la fonction t -> t.f(t) à la place de la fonction f !! C'est pour ça que je suis très mal parti.

Bon j'ai finalement trouvé que ça tend vers f(0)/2

[Ben314]

:king2: Nickel Chrome :king2:

[zygomatique]

f est continue sur l'intervalle [0, 1] donc soit l'unique primitive de f qui s'annule en 0

alors pour un certain a entre 0 et 1/n (c'est le TAF à

donc pour un certain b entre a et 1/n (c'est le TAf à F)

donc en valeur absolue

il me semble ....

[zygomatique]

bon je vois qu'on peut faire mieux ....

[Ben314]

Ça marche... peut être, mais il me semble que c'est un chouilla plus simple d'écrire que :
Pour tout epsilon>0, il existe eta>0 tel que, pour tout t de [0,eta], on ait |f(t)-f(0)|1/eta on a
C'est à dire soit encore
Ce qui permet de conclure et de voir que le résultat n'a rien à voir ni avec le théorème des valeurs intermédiaires, ni avec le T.A.F., et qu'il perdure si on suppose uniquement f continue en 0 et totalement quelconque ailleurs (enfin, quand même intégrable sur [0,1/n] pour tout n... :lol3: )

[zygomatique]

oui oui bien sur : j'étais immédiatement parti sur mon idée d'IPP ... j'ai voulu la poursuivre même si entretemps tu es intervenu avec ton indication : appliquer simplement la définition de la continuité en 0 ....

de même qu'on parle de la valeur moyenne d'une fonction (sur un intervalle) le théorème de la moyenne généralisé nous dit directement (les hypothèses sont vérifiées...) qu'il existe un réel r dans l'intervalle [0, 1/n] tel que



ce qui nous donne immédiatement le résultat ...

:lol3: