Lemme des noyaux !

par **barbu23** » 21 Jan 2009, 21:42

Bonsoir :
Soit

un espace vectoriel de dimension

sur un corps

. Soit :

un endomorphisme de

.
Soit :

avec :

et

sont premiers entre eux.
Alors :

Démonstration :
On a :

. D'après le théorème de Bézout, il existe

tel que

. On en déduit que

désignant l'application identité de

).

Soit

. On a

, donc

.

Soit

. On a alors

. Or :

; ce qui montre que

. De même, on montre que

On en déduit donc que

Question :
Le passage que 'ai pas compris est le suivant :

Or : ; ce qui montre que . De même, on montre que

A quoi sert ce passage ? pour montrer quoi ?
Merci infiniment !

par **Nightmare** » 21 Jan 2009, 21:45

Salut :happy3:

On a écrit x, élement de KerP(f), comme la somme de [(U1P1)(f)](x) et de [(U2P2)(f)](x). Il suffit donc de montrer que le premier est dans Ker(P2(f)) et le second dans Ker(P1(f)) ce qui prouvera que KerP(f)=Ker(P1(f))+Ker(P2(f)).
Le premier paragraphe montre que la somme est directe.

par **barbu23** » 21 Jan 2009, 21:48

Merci beaucoup "Nightmare" pour ces precisions rapides ! :happy2:

par **Nightmare** » 21 Jan 2009, 21:49

Je t'en prie :happy3:

par **sniperamine** » 21 Jan 2009, 22:00

ah c'est le théorème de décomposition de noyaux là tu veux le montrer pa récurrence :++:

par **barbu23** » 21 Jan 2009, 22:02

:zen: :zen: :zen:

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