Jordanisation

[BetaDeltaGama]

Salut ;

J'ai un probleme de jordanisation j ai lu plusieur cours pour comprendre comment on fait mais je ne suis pas arrivé a comprendre surtout les Ni=Ker(A-iI)^i et Ni+1=Ni+Fi+1 avec + somme directe

si quelqu'un peut jordaniser cette matrice et m'expliquer la méthode a suivre


A= 1 -3 2
1 -3 2
1 -3 2

0 est vp d'ordre 3

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
Il s'agit de Jordaniser:

Le polynôme caractéristique est :


Donc, est une valeur propre d'ordre .

Posons :
Donc : , et donc :
est donc, le nombre de blocs de Jordan associé à la valeur propre .
On a :

Donc, , et donc
est donc, la taille du bloc de Jordan le plus grand.
Donc : la réduite de Jordan de comporte deux blocs dont le plus grand comporte forcement pour taille

On détermine la réduite de Jordan :
Donc, ( réduite de Jordan ) s'écrit :

car, le premier bloc est et le second bloc est , et le reste des coefficients de la matrice ne sont remplies que par des .

On construit la base associée à la décomposition de Jordan :
Prenons :
puis :
Pour trouver , il suffit de calculer un vecteur propre de :

Et donc , ( A vérifier )
On prend donc :
La matrice de passage est donc :

Et par conséquent :

[barbu23]

Prenons :
puis :
Pour trouver , il suffit de calculer un vecteur propre de :

Et donc , ( A vérifier )
On prend donc :
La matrice de passage est donc :

Et par conséquent :

[BetaDeltaGama]

Bonsoir ,

Merci beaucoup barbu23pour ton aide,

je veux juste savoire une autre chose , si on veut construire la base combien de vecteur faut choisir ( ici tu a choisi v1=(1 0 0) , et on calcule (A-v.pI)v1 et si il nous manque un vecteur on complete tjr avec des vecteurx propres??? on prend pas un autre vecteur de ker(M^3)-ker(M²)??

[barbu23]

Bonsoir ,

Merci beaucoup barbu23pour ton aide,

je veux juste savoire une autre chose , si on veut construire la base combien de vecteur faut choisir ( ici tu a choisi v1=(1 0 0) , et on calcule (A-v.pI)v1 et si il nous manque un vecteur on complete tjr avec des vecteurx propres??? on prend pas un autre vecteur de ker(M^3)-ker(M²)??

Non, le truc est simple, c'est moi qui complique les choses avec trop de mots inutiles ...
Pour trouver une base, on calcule d'abord :
tel que avec la taille de la matrice ( ici, c'est )
Donc :
, donc, on choisit vecteurs arbitraires dans ( ici : ), on a choisit : , ensuite, on calcule , c'est le deuxième vecteur, et on s'arrête là, car ( est la taille de ) , en fait, il faut seulement deux vecteurs car le qui figure dans détermine le nombre de vecteurs qu'il faut, s'il y'a , alors il faut vecteurs à construire en faisant l'itération avec
On passe à la deuxième étape, on fait la même chose, on calcule :
( ici ), donc , c'est
, mais on n'a pas besoin de vecteurs pour completer la matrice de passage, mais seulement de une, et dans qui est l'espace des vecteurs propres, d'où ce que j'ai dit dans le poste precedent : qu'il faut choisir un vecteur propre qui n'est autre qu'un élément de