Irrationnaux

par **Azuriel** » 28 Déc 2006, 18:46

J'ai encore un problème. Comment prouver qu'un nombre est irrationel.
Par ex, comment prouver que ce nombre est irrationel 3V = racine cubique

(3V)5 + V3 ?

par **Nightmare** » 28 Déc 2006, 18:52

Bonjour

On parle de nombres irrationnels et non "irrationaux" :lol3:

La technique est toujours la même : Raisonner par l'absurde.

:happy3:

par **Azuriel** » 28 Déc 2006, 19:05

Daccord merci. Mais là je n'arrive pas à trouver comment partir car la somme des 2 me gène..car meme en prouvant que 3V5 et V3 sont irrationnels, rien ne prouve que la somme est irrationnel..

par **fahr451** » 28 Déc 2006, 20:20

par l'absurde puis élever au carré et racine (15) serait rationnel;
je t'en prie...

par **fahr451** » 28 Déc 2006, 20:30

par l'absurde

si racinecubique(5) = a/b -racine(3) ;a,b entiers
élever au cube et en déduire que racine(3) rationnel

je t'en prie...

par **yos** » 28 Déc 2006, 20:52

On peut voir ça ainsi :

1) On cherche un polynôme P à coef entiers qui annule le nombre x.
2) Ensuite on cherche les racines rationnelles de P ( très peu de possibilités pour des raisons arithmétiques) et on montre qu'aucune d'elle n'est x.

par **nuage** » 28 Déc 2006, 20:58

Salut,
pour le point 1) du message précédent de Yos on peut prendre

Sauf erreur de ma part.

par **mathelot** » 28 Déc 2006, 22:37

je rédige la fin de la démonstration proposée par yos:
soit

le réel

si

est rationnel, il existe deux entiers

et

non nuls et premiers entre eux
tels que

et

.
d'où:

d'où

et

sont premiers entre eux
donc

d'après Gauss.
donc

ou

.

et

sont premiers entre eux.
donc

(Gauss)
donc

or

et

.
contradiction.
donc

n'est pas rationnel.

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