Integration et démonstration d'inégalité

[ArtyB]

Bonjour,

Si on pose
Que l'on me demande de calculer ça pour n=0 et n=1 puis de montrer que:
je suppose que je dois le montrer par récurrence non ?

[zygomatique]

salut

ben essaie ... et tu verras bien ...

[ArtyB]

J'ai essayé la récurrence mais il doit y avoir une relation que je loup
Parce que si je dis que:

Alors je dois la démontrer pour
ie

Mais dans mon intégrale j'ai:

et là je ne sais pas trop comment faire

[zygomatique]

poser et v' = 1


mais bon ça n'a pas l'air de permettre de conclure ....

[Ben314]

Salut,
Perso, façe à ça je m'empresserais immédiatement tout de suite sans réfléchir avec célérité et quelque soient les questions posées... à faire le changement de variable :
Et, comme sur [0,1] ça donne...

[ArtyB]

Zygomatique: J'y ai pensé oui mais ça ne donne rien en avançant...

Ben314:Ahhh oui malin ! Je n'y avais pas pensé !
Mais je ne vois pas où cela nous mène, certes mais où cela nous mène-t-il ? Parce que avec le changement de variable l'intégrale ne peut pas être calculée si ?
Ou alors un Integration par parties est elle possible ?

[zygomatique]

quand tu as majoré exp(t) par e il te reste quoi ?

[chan79]

salut


Par parties avec et
ça doit te donner

ce qui permet de conclure

[ArtyB]

Ahhh great ! Merci beaucoup !
Mais comment vous voyez ça ?! J'ai cherché pendant un certain temps et rien trouvé

[Ben314]

Perso, ça me viendrait pas à l'esprit de faire une récurence pour montrer un truc pareil...
Le changement de variable est totalement trivial et l'encadrement est on ne peut plus évident :
On a et sur [0,1] donc et point barre.

[chan79]

Ahhh great ! Merci beaucoup !
Mais comment vous voyez ça ?!

Le (n+1) peut faire penser à procéder ainsi.
On tombe sur une relation de récurrence:
Avec , on voit que
u et v étant des suites d'entiers

on montre facilement que
Pour , ça me paraît plus compliqué.
Quelqu'un trouvera peut-être ? :hum:

[Ben314]

Comme a pour primitive où est un polynôme de degrés n (tel que ) on a .
Et si on veut être "explicite", il suffit d'écrire et de résoudre c'est à dire et pour k<n

[chan79]

Le (n+1) peut faire penser à procéder ainsi.
On tombe sur une relation de récurrence:
Avec , on voit que
u et v étant des suites d'entiers

on montre facilement que
Pour , ça me paraît plus compliqué.
Quelqu'un trouvera peut-être ? :hum:

Salut
Je relance le sujet.
Est-il possible d'expliciter la suite v(n) ci-dessus en fonction de n ?
On a
v(0)=1
v(n+1)=1-(n+1)v(n)
Les premières valeurs:
v(0)=1
v(1)=0
v(2)=1
v(3)=-2
v(4)=9
v(5)=-44
v(6)=265
v(7)=-1854
...