Intégrale-suite

[mitron]

Bonjour,

Je viens de commencer le cours sur l'intégration sur un segment/intervalle quelconque et j'ai une question concernant un exercice corrigé en classe.

On me demande la convergence de la suite: Un = .

= .

Pourquoi n'a-t-on pas: = .

J'avais mis en NB qu'on pouvait prendre le terme de gauche: 1 + k/n ou le terme de droite, k/n + 1/2n en coupant l'intervalle (1/n, 1/2n jusqu'à 1) mais j'ai pas compris pourquoi.

Merci

[Maxmau]

Bonjour,

Je viens de commencer le cours sur l'intégration sur un segment/intervalle quelconque et j'ai une question concernant un exercice corrigé en classe.

On me demande la convergence de la suite: Un = .

= .

Pourquoi n'a-t-on pas: = .

J'avais mis en NB qu'on pouvait prendre le terme de gauche: 1 + k/n ou le terme de droite, k/n + 1/2n en coupant l'intervalle (1/n, 1/2n jusqu'à 1) mais j'ai pas compris pourquoi.

Merci

Bj

La limite, quand n tend vers l'infini, d'une quantité dépendant de n, ne peut dépendre de n.

[Matt_01]

Perso, je trouve que la conclusion n'est pas directe (même si la tienne est evidemment fausse comme l'a relevé Maxmau).
En fait, on espère que
se rapproche de

Pour cela, en étudiant la différence que l'on note D_n :

On a donc une somme de termes tous clairement inferieurs à 1/2n.
ainsi D_n est inferieur à 1/4n et tend vers 0. Avec Riemann on conclue

En utilisant des développement limités ça doit marcher aussi.

[Maxmau]

Si on partage l'intervalle (0,1) en n intervalles égaux, les points k/n + 1/2n = (2k+1)/(2n) k=0,1,.... (n-1), sont les milieux des n intervalles égaux précédents.
(1/n) Somme(k=0,1,....,n-1; 1/(1+k/n + 1/2n)) est donc une somme de Riemann sur (0,1) de la fonction 1/(1+t)

[Matt_01]

On m'a toujours appris Riemann sous la forme moins générale, avec les intervalles "standards" et j'avais oublié celle plus générale.
Autant pour moi, du coup c'est une conséquence directe ;)