Intégrale et récurrence

[nico10310]

Bonjour,

Voici mon sujet :
https://drive.google.com/file/d/0Bx2AEal0fcSyU2w5VWtFM0E5UzA/view?usp=sharing

On m'indique que on pourra effectuer une intégration par parties et chercher à décrire Wn en fonction de Wn−2
Mais je n'arrive même pas à faire l'initialisation car je ne comprend pas ce qu'il y a derrière les "..." dans les fractions.
Merci pour votre aide

[XENSECP]

Salut,
Les petits points c'est juste les facteurs multiplicatifs (comme la factorielle).

Du coup pour k = 1, et

Bon courage

[nico10310]

Salut,
Les petits points c'est juste les facteurs multiplicatifs (comme la factorielle).

Du coup pour k = 1, et

Bon courage

Oui d'accord merci.
Donc pour l'initialisation il faut que je montre que
et que
C'est ça ?

[XENSECP]

Yup c'est exact. Tu noteras que si tu intègres cos² (le premier), tu peux déduire cos^3 par IPP et ainsi de suite...

[nico10310]

Yup c'est exact. Tu noteras que si tu intègres cos² (le premier), tu peux déduire cos^3 par IPP et ainsi de suite...

J'ai réussi à calculer W2 mais je ne vois pas comment en déduire W3 avec une IPP car on se retrouve avec du sin²(t)

[Ben314]

Salut,
sin²=1-cos².
Et je pense que XENSECP a fait une faute de frappe : comme l'indication de l'énoncé te le signale, lorsque l'on fait une I.p.P en partant de Wn, on finit (après quelques calculs) par trouver une relation entre Wn et W(n-2).
Donc lorsque tu cherche à calculer W3, tu devrais (plus ou moins) te ramener au calcul de W1 (et pas à celui de W2).

Sinon, une petite indication : partant de Wn=... et en faisant une I.p.P, tu ne va pas tomber directement sur du W(n-2), mais sur une expression dépendant à la fois de Wn et de W(n-2) qui te permettra ensuite d'obtenir une relation entre Wn et W(n-2).

[nico10310]

Salut,
sin²=1-cos².
Et je pense que XENSECP a fait une faute de frappe : comme l'indication de l'énoncé te le signale, lorsque l'on fait une I.p.P en partant de Wn, on finit (après quelques calculs) par trouver une relation entre Wn et W(n-2).
Donc lorsque tu cherche à calculer W3, tu devrais (plus ou moins) te ramener au calcul de W1 (et pas à celui de W2).

Sinon, une petite indication : partant de Wn=... et en faisant une I.p.P, tu ne va pas tomber directement sur du W(n-2), mais sur une expression dépendant à la fois de Wn et de W(n-2) qui te permettra ensuite d'obtenir une relation entre Wn et W(n-2).

Ok merci.
Pour trouver W3, j'ai fait autrement, avec un changement de variable et j'ai bien trouvé 2/3

Donc maintenant j'attaque l'hérédité ...

[nico10310]

Et donc après un long calcul, je trouve :

Ensuite, je remplace n par 2k et on retrouve les fractions données mais du coups nous n'avons pas utilisé l'hypothèse de récurrence. Est-ce bon ?

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.
Par contre, je vois pas comment tu peut te passer d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour obtenir le résultat : la formule en question te donne Wn en fonction de W(n-2) donc pour avoir Wn en fonction de n (comme l'énoncé le demande), il fautconnaitre W(n-2) en fonction de n, c'est à dire utiliser l'H.R.

Ou alors, c'est que tu utilise non seulement une fois la formule en question, mais qu'en fait tu l'utilise plusieurs fois "en cascade" et ça signifie qu'au fond, tu fait une espèce de récurrence sans le dire.

[nico10310]

OK merci, oui j'avais pensé à la "cascade"

[Ben314]

C'est aussi comme ça que je rédige fréquemment, mais ça peut éventuellement être considéré comme "pas assez formel" par le correcteur.
De plus, là, l'énoncé précise clairement "par récurrence" donc à mon avis, si c'est un exam. ou un concours, il vaut mieux le faire avec une récurrence "bien propre" histoire de montrer qu'on sait les rédiger correctement.

[nico10310]

Merci pour votre aide !

J'ai fait ça, je voudrais savoir si c'est bon, surtout la fin ; je la trouve bizarre cette récurrence parce que d'habitude on calcule Pn+1 avec l'hypothèse de récurrence.

https://drive.google.com/file/d/0Bx2AEal0fcSyRFExYXd2VVJoSzQ/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/0Bx2AEal0fcSyb3RFaWRvYmJuZzg/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/0Bx2AEal0fcSyTnhsa0pUZUpUNXM/view?usp=sharing

[Ben314]

Ca me semble tout bon, sauf que justement tu ne fait pas une récurrence mais un calcul "en cascade".
A la fin de la page 2, tu écrit et là, il y a deux erreurs :

- Une faute de frappe vu qu'à droite du = tu as écrit du alors qu'il n'y a pas de "n" dans cette partie de la preuve : c'est évidement qu'il faut écrire (ou alors tu écrit en toute lettre que tu applique la formule au dessus avec n=2k, mais dans ce cas, ça serait nettement mieux de ne mettre que des n ou bien que des k dans les différentes expression et pas un mélange des deux).

- Une erreur "de logique". Tu est en train de rédiger la partie "hérédité" d'une récurrence donc tu as supposé que la propriété était vraie pour un certain et ce que tu doit faire maintenant, c'est de montrer que est elle aussi vraie, c'est à dire que et que donc tout ce que tu as à écrire en cette fin de page 2, c'est que :

La formule çi dessus (valable pour tout n) nous dit en particulier (pour ) que or, par hypothèse de récurrence, on a donc en fait ce qui démontre la première égalité constituant la proposition .
Idem pour la deuxième égalité constituant la proposition (calculs ...) donc la proposition est elle aussi vraie.

Et là où un correcteur risque de pas mal t'allumer, c'est que le début de la page 2 commence par du "Supposons que Pk est vraie" et la fin de cette même page se termine par "donc Pk est vraie" : le moins qu'on puisse dire, c'est que logiquement parlant, c'est pas génial....

Sinon, mais c'est juste une suggestion, je pense que ça gagnerais pas mal en lisibilité si le calcul de W2, de W3 ainsi que l'IpP conduisant à la formule donnant Wn en fonction de W(n-2) étaient fait avant d'attaquer la récurrence : la récurrence elle même ne tiendrait plus que 3 lignes et ça serait évidement plus clair.
Et je ne sais pas si ça ne serait pas plus clair aussi en faisant deux récurrences, une pour montrer que "pour tout k W_{2k}=..." et une autre pour montrer que "pour tout k W_{2k+1}=...", mais là, c'est tout à fait discutable (et ça ne changerais vraiment pas grand chose...)

[nico10310]

Ok merci beaucoup de me donner de votre temps

Mais je ne comprend pas pourquoi , ce n'est pas plutôt d'après la formule ?

[Ben314]

Oui, je me suis effectivement gouré....