Integrale si x fait parti de Q

[MathematicienPoche]

Bonjour j'ai un examen demain alors les questions pleuvent.

Soient M > 0 et f : [-M,M]->R une fonction telle que f(x) = x si x fait parti de Q, 0 sinon. Cette fonction est-elle intégrable au sens de riemann? Justifier votre réponse.

Ici je ne peux utiliser aucun théorème que j'ai vu, et la définition S(f,p) - s(f,p) < E me semble compliqué. J'ai pensé au critère de Lebesgue mais comment l'appliquer??

merci

[Ben314]

(Re)salut,
Cette fonction n'est pas Riemann-intégrable (elle est Lebesgue-intégrable, mais ce n'est pas la même chose...)
Pour le montrer, tu doit effectivement majorer/minorer les S(f,p) et s(f,p) pour montrer que l'écart entre les deux est toujours assez grand.

Dans ton cours, tu as surement vu la preuve du fait que la fonction qui vaut 1 sur les quotients et 0 ailleurs n'est pas Riemann-intégrable.
La preuve ici est plus ou moins un "calque" de celle là, la seule diférence est qu'il faut ici distinguer deux cas selon que x<0 ou x>0.

[mathelot]

bj


il faut vraiment PAS l'écrire au controle mais cette fonction est
"2 en 1"

elle vaut x-->x et x--->0 sur des domaines de définitions
tous les deux denses dans [-M;M]

après calculs des sommes de Darboux, tu devrais trouver que celles du haut
convergent vers



et les sommes inférieures vers


voilà la conjecture :hein:

pour ça on écrit la définition et on dit que dans chaque intervalle
de longueur non nul, gît (du verbe gésir) un rationnel et aussi un irrationnel.