Intégrabilité!!!

par **guigui777** » 01 Nov 2007, 00:09

Voilà le classique sint/t.... sur 1,+infini,
je regarde si c'est intégrable. Il est clairement noté dans mon livre que non, et pourtant je peux trouver une limite à la primitive en faisant une IPP j'ai cos1-cosx/x-int(1 à x) cost/t²dt.et là y'a pas de problème. je n'arrive pas à comprendre.. j'ai majoré mon intégrale, donc elle ne tend pas vers l'infini... et donc pourquoi ca ne converge pas...!!!
Peut etre parce que ce n'est pas de signe constant et donc pas la même limite.... ? je sais pas trop! merci de m'éclairer!

par **tize** » 01 Nov 2007, 00:21

Bonsoir,
cela dépend de l'intégrabilité dont on parle !
Au sens de Riemann, l'intégrale converge comme tu l'as dit...
Pour qu'elle soit intégrable au sens de Lebesgue il faudrait qu'elle soit intégrable en valeur absolue ce qui n'est pas le cas...

par **guigui777** » 01 Nov 2007, 00:28

heu je sais pas trop, pourquoi ca n'est pas intégralbe au sens de Lebesgue?

par **tize** » 01 Nov 2007, 00:37

Et bien parce que

par **guigui777** » 01 Nov 2007, 02:40

ok faudra juste que tu me montres comment arriver à ce resultat
Merci!! :we:

par **SimonB** » 01 Nov 2007, 03:57

Pour montrer ce résultat, tu peux découper ton intégrale sur les

et faire le changement de variable

. Tu devrais te retrouver avec la série harmonique, modulo une constante multiplicative.

par **Pythales** » 01 Nov 2007, 09:40

Puisqu'on parle de cette fameuse intégrale, un moyen de la calculer est de considérer

, de calculer

ce qui donne

, et comme

on a

, et en faisant

on trouve que

ce qui est exact.
Malheureusement, pour

,

ne converge plus.
Comment justifier le résultat malgré tout ?

par **guigui777** » 01 Nov 2007, 11:24

ok je vois le truc, maintenant si je regarde sin(1/t)/((racine de t)*t)
la en +infini j'ai fait : sin(1/t) qui est équiv à 1/t, j'ai donc 1/t^5/2... ca d'après Rieman ca converge non? parce que sur mon livre ils disent que le prob est en +infini... or moi je n'en vois pas....
ensuite en 0 je regarde la valeur absolue et je majore par K/t^3/2 et là c'est pas bon... il faut donc que je trouve autre chose
J'ai tenter un changement de variable : t=1/u, j'ai alors sin(u)u^3/2... bon et là quand t -> 0 1/u -> + infini.... donc ^je ne suis pas trop avancé...

Intégrabilité!!!

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