Bonjour
Voici un exercice sur lequel je bloque :
Pour n ;) 1
Soit In = ;)_0 à n;)(1-x/n)^n ln;)(x)dx;)
Et Jn =;)_0 à 1;)(1-x)^n ln;)(x)dx;)
3 Montrer que pour tout n ;) N*, In= [n/(n+1)] ln(n) + n.Jn
4 Montrer que pour tout n ;) N*, (n+1).Jn = n.J(n-1) [1/(n+1)]
5 Conclure que ;)_0 à(+;)) e^(-x) ln(x) dx = -C avec C=lim(n;);));) (;)(k=1) à(n+1) [1/k-ln;)(n)]
Pouvez m'aider merci
Intagrale
12 messages
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par Ben314 » 19 Déc 2015, 13:00
Salut,
Si
, on a ^n\leq e^{-t}\ \Leftrightarrow\ 1-\frac{t}{n}\leq e^{-\frac{t}{n}}\)
(car 
est strictement croissante sur 
)
Si
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Maths-ForumR » 21 Déc 2015, 13:15
Très bien Merci
Pour la 3 et 4 il faut utiliser une IPP c'est ça car je n'arrive pas a retrouver les expression demandés?
Pour la 3 et 4 il faut utiliser une IPP c'est ça car je n'arrive pas a retrouver les expression demandés?
par Ben314 » 21 Déc 2015, 14:16
Tu es sûr de ton énoncé (en particulier des bornes d'intégration) ?
Perso, je trouve
et 
qui n'est pas en accord avec le formule du 3) qui contient du ln(2) (et qui en plus contient plus de parenthèse ouvrante que fermante... :triste: )
Pour la 4, ça doit marcher en faisant une I.P.P. où tu intègre ln(x) ce qui te fait du x.ln(x)-x qui va te donner un morceau calculable (celui avec x) et un autre exprimable à l'aide de Jn et J(n+1) (celui avec x.ln(x)).
Perso, je trouve
Pour la 4, ça doit marcher en faisant une I.P.P. où tu intègre ln(x) ce qui te fait du x.ln(x)-x qui va te donner un morceau calculable (celui avec x) et un autre exprimable à l'aide de Jn et J(n+1) (celui avec x.ln(x)).
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par Maths-ForumR » 21 Déc 2015, 14:23
Oui vous avez raison, pardon pour In les borne d'intégration c'est de 0 à n
par Ben314 » 21 Déc 2015, 14:31
En supposant une erreur d'énoncé, à savoir que ^n\ln(x)\,dx\)
(et pas l'intégrale de 0 à 1) alors, en posant 
on a
^n\ln(nt)\,ndt<br />=n\int_0^1(1-t)^n\big(\ln(n)+\ln(t)\big)\,dt<br />=n\int_0^1(1-t)^n\big(\ln(n)+\ln(t)\big)\,dt<br />=n\ln(n)\times\frac{1}{n+1}+nJ_n)
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par Maths-ForumR » 21 Déc 2015, 14:33
Pour la 4.
J'ai (n+1) [(1-x)^n x.ln(x)-x] (entre 0 et 1) - ;)(entre 0 et 1) n (1-x)^(n-1) . ln(x)
Mais je ne retombe pas du tout sur le résultat
J'ai (n+1) [(1-x)^n x.ln(x)-x] (entre 0 et 1) - ;)(entre 0 et 1) n (1-x)^(n-1) . ln(x)
Mais je ne retombe pas du tout sur le résultat
par Ben314 » 21 Déc 2015, 14:57
Pour la 4), en prenant =(1-x)^n\)
et =x\ln(x)-x\)
donc =\ln(x)\)
^n\big(x\ln(x)-x\big)\right]_0^1+n\int_{0}^1(1-x)^{n-1}\Big(x\ln(x)-x\Big)\,dx\ <br />=\ 0+n\int_{0}^1(1-x)^{n-1}\Big(\ln(x)-(1-x)\ln(x)-x\Big)\,dx)
^{n-1}dx)
Or (i.p.p)^{n-1}dx<br />=\left[-x(1-x)^n\right]_0^1+\int_{0}^1(1-x)^{n}dx=0+\frac{1}{n+1}\)
DoncJ_{n}\ <br />=\ nJ_{n-1}-\frac{1}{n+1})
Or (i.p.p)
Donc
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par Maths-ForumR » 21 Déc 2015, 16:26
Ah oui merci
Pour la question 5. il faut montrer ;)_0 à(+;)) e^(-x) ln(x) dx = -C avec C=lim(n;);));) (;)(k=1) à(n+1) [1/k-ln;)(n)]
Dans une autre question question j'ai prouvé que lim In =;)_0 à(+;)) e^(-x)
Donc ;)_0 à(+;)) e^(-x) = lim In
on remplace lim In par lim [n/(n+1)] ln(n) + n.Jn
puis on exprime Jn dans cette expression
Donc ;)_0 à(+;)) e^(-x) = lim [n/(n+1)] ln(n) + + Jn + nJ(n-1) +1/(n+1)
et on remplace Jn-1 et Jn avec lintégrale mais après je ne sais pas trop quoi faire
Pour la question 5. il faut montrer ;)_0 à(+;)) e^(-x) ln(x) dx = -C avec C=lim(n;);));) (;)(k=1) à(n+1) [1/k-ln;)(n)]
Dans une autre question question j'ai prouvé que lim In =;)_0 à(+;)) e^(-x)
Donc ;)_0 à(+;)) e^(-x) = lim In
on remplace lim In par lim [n/(n+1)] ln(n) + n.Jn
puis on exprime Jn dans cette expression
Donc ;)_0 à(+;)) e^(-x) = lim [n/(n+1)] ln(n) + + Jn + nJ(n-1) +1/(n+1)
et on remplace Jn-1 et Jn avec lintégrale mais après je ne sais pas trop quoi faire
par Ben314 » 21 Déc 2015, 17:04
Il te suffit d'exprimer 
sous forme de somme en partant de la relation trouvée au 4) :
J_{n}\ =\ -\frac{1}{n+1} +nJ_{n-1})
J_{n-2})
J_{n-3})
vu que 
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