Insurgent

[biss]

salut
je cherchais la demonstration que si Un converge vers une limite n alors U2n convere aussi vers une limite n mais je l'ai pas encore trouver alors je pose ca ici en attendant de l avoir trouver
ce que j'ai fais personnellement j'ai pris 2n superieur a n et puis la defition de la convergence

[aymanemaysae]

En bas de la page 286 de 'Mathématiques, Tout en un, MPSI-PCSI' on trouve la proposition n° 8 qui affirme que:
Si v = (vn)n avec n appartenant à IN est une suite extraite d'une suite u = (un)n avec n appartenant à IN, et si u tend vers s appartenant à IR(barre), alors v tend aussi vers s.

La suite (u2n) avec n appartenant à IN est extraite de la suite u = (un)n avec n appartenant à IN, et comme u est convergente, elle tend vers une limite t appartenant à IR, donc (u2n) avec n appartenant à IN tend aussi vers t.

[aymanemaysae]

Pour la démonstration, il faut remarquer que les trois cas: s appartenant à IR, s=+infini et s=-infini sont très similaires, l'auteur du livre n'a traité que le premier cas.

Soient u une suite convergeant vers s et v = (uphi(n)) avec n appartenant à IN une suite extraite de u.
Établissons lim (n-->+infini) v = s, c'est-à-dire:
quelque soit epsilon > 0, il existe n0 : quelque soit n >= n0 ; |uphi(n) - s|<= epsilon.
Soit epsilon > 0. Comme lim (n-->+infini) u = s, on peut trouver n0 tel que:
quelque soit n >= n0, |un - s|<= epsilon.
Comme quelque soit n >= n0, phi(n) >= n >= n0, on en déduit:
quelque soit n >= n0, |uphi(n) - s|<= epsilon.

[zygomatique]

salut

une suite convergente est une suite de Cauchy donc toute sous-suite converge vers la même limite ...