Injective-surjective.

[Jjl]

Salut,j'ai fais cet exercice et je voulais savoir ce que vous pensé de ce que j'ai fais:
Exercice 5
Démontrer que l’application f : R^2 R
3 définie par f(x, y) = (x y, x, x + y) est linéaire, injective
et non surjective.
Alors pour le 1 il faut prouver que

f(u+v)=f(v)+f(u) u=(x,y) v=(x',y') et w=(x",y") donc u+v+w=(x+x'+x",y+y'+y") et f(x+x'+x",y+y'+y")= ((x+x'+x")-(y+y'+y"),(x+x'+x"),(x+x'+x")+(y+y'+y"))= ((x-y)+(x'-y')+(x"-y"),x+x'+x",(x+y)+(x'+y')+(x"+y")) = (x-y,x,x+y)+(x'-y',x',x'+y')+...=f(x,y)+f(x',y')+f(x",y").

Ensuite u=;)(x,y)=(;)x,;)y) et f(;)x,;)y)= (;)x y, x, x + y) =;)f(x,y) donc f(x,y) est linéaire.
2)Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y) => x=y.
Donc soit x dans R et y dans R.

f(x,y)=f(x',y') (x-y,x,x+y) = (x'-y',x'+y')=> (x,y)=(x',y')

donc f est injective.
Après pour le "non surjective' je ne sais pas.

[zygomatique]

salut

f(x, y) = x(1, 1, 1) + y(-1, 0, 1)

donc .... ?


et par exemple (1, 0, 1) a-t-il un antécédent ?

[Jjl]

salut

f(x, y) = x(1, 1, 1) + y(-1, 0, 1)

donc .... ?


et par exemple (1, 0, 1) a-t-il un antécédent ?

Donc c'est une combinaison linéaire.
Et si je regarde ceci: f(x,y)=(x-y,x,x+y) alors (1,0,1) n'a pas d'antécédent.

[Jjl]

Donc c'est une combinaison linéaire.
Et si je regarde ceci: f(x,y)=(x-y,x,x+y) alors (1,0,1) n'a pas d'antécédent.

Pour la partie 1) montrer que c'est une application linéaire je pense que c'est bon vu que vous n'avaez rien dis,mais pour montrer que l'application est injective c'est pas bon j'imagine.

[zygomatique]

ben disons qu'il faudrait une étape .... (dans ta citation)

[Jjl]

ben disons qu'il faudrait une étape .... (dans ta citation)

Ok dac je vais réfléchir encore un peu.

[Manny06]

Ok dac je vais réfléchir encore un peu.

(x,y)=f(x',y') (x-y,x,x+y) = (x'-y',x'+y')=> (x,y)=(x',y')
attention ta citation est incorrecte
(x-y,x,x+y)=(x'-y',x',x'+y')

[zygomatique]

deux n-uplets sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales

....

[Jjl]

(x,y)=f(x',y') (x-y,x,x+y) = (x'-y',x'+y')=> (x,y)=(x',y')
attention ta citation est incorrecte
(x-y,x,x+y)=(x'-y',x',x'+y')

Oui j'ai oublié le x,merci

[Jjl]

deux n-uplets sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales

....

ok merci pour ton aide,donc dans mon cas,x=x' et y=y'
Et ça suffit pour dire que f est injective .

[Jjl]

deux n-uplets sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales

....

ok merci pour ton aide,donc dans mon cas,x=x' et y=y'
Et ça suffit pour dire que f est injective .

[zygomatique]

ben oui ... par définition ....