Inégalité de hadamard

par **mehdi-128** » 11 Jan 2007, 19:08

Bonsoir je bloque complètement sur cet exercice:
1/Montrer que toute matrice M de GLn(R) se decompose de manière unique sous le forme M=OT ou O appartient a On(R) et T est triangulaire supérieure avec des éléments diagonaux strictements positifs.

2/En déduire l'inégalité de Hadamard.

par **fahr451** » 11 Jan 2007, 19:12

quid de ton exo sur l endo auto adjoint ...?

par **mehdi-128** » 11 Jan 2007, 19:18

non c'est un exo independant....

par **fahr451** » 11 Jan 2007, 19:23

je vais être plus explicite alors :

j'ai pris la peine de te répondre pour ton exo d'algèbre linéaire j'attendais quelque chose de ta part,avant d'envisager de te répondre pour celui-ci.

par **mehdi-128** » 11 Jan 2007, 22:05

Ah ok désolé alors....
Mais ton explication m'a beaucoup aidé alors merci beaucoup de m'avoir répondu et si clairement......

par **fahr451** » 12 Jan 2007, 10:45

tu connais la décomposition de choleski?
dont une version est pour A réelle symétrique positive inversible il existe T
triangulaire avec coeff diagonaux positifs A = tT T
Preuve :
il suffit d e considérer que A est la matrice d 'un produit scalaire ds la base canonique et gram schmit affirme qu 'il existe une bon obtenue à partir de la base canonique : la matrice de passage T est triangulaire sup ;ds cette base la matrice du produit scalaire est In la formule de changement de base est
In = tTAT d'où le résultat en prenant T^(-1) au lieu de T

ça c'est choleski tu appliques ceci à A = tMM tu en déduis l'existence de T

puis en posant O = MT^(-1) il est facile de voir que O est ortho
reste l'unicité écrire 0T= 0'T' puis 0'^(-1)0 = T'T^(-1)
si une matrice est à la fois triangulaire et orthogonale alors ...

par **mehdi-128** » 12 Jan 2007, 20:58

ah ok merci c'est beaucoup plus clair

Inégalité de hadamard

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