Inegalite dans N

[Purrace]

Bonjour, je suis arriver dans mon dm a une question qui me semble ressembler a une question de terminale mais qui me pose probleme.

On doit demontrer que somme des 1/k de k=1 ak=n est comprise entre ln(n)-1/n et ln(n)+1 sachant qu'on avait verifier que l'integrale da [k , k+1] de dt/t etait compris entre 1/(k+1) et 1/k.

Bon ce que j'ai fait c'est que j'ai somme les deux menbres interressant de l'inegalite mais j'arrive pas au resultat.

Si vous pouviez m'aidez , merci beaucoup d'avance.

[Purrace]

Pardon mais je bug encore sur une autre question d'un autre exercice , on a Fn(x)=1-x^n*exp(-x) , on a demontrer que f admet deux racines sur R+ notee 1
Bon au premier rabort je dirait que c'est positif car on a f qui decroit et que Un est une racine , en considerant Un-1
Merci pour la verification , mais si vous pouviez repondre aussi a la question 1 , ce serait gentil merci d'avance.

[prody-G]

salut,

Pour l'inégalité de gauche :



Or
=>
et puisque
on en déduit

après pour l'inégalité à droite je cherche encore...

[Purrace]

Merci de m'avoir repondu mais en fait je me suis goure dans l'enoncé c'est ln(n)+1/n et -1/n .

Pardon , mais merci tout de meme.

[prody-G]

ah oki alors démontre que en étudiant le sens de variation de .

EDIT : ah non ça marche pas parce que ça tend vers 0 en l'infini...

[Alpha]

Bonsoir,

Sinon, on peut dire que ln(n+1) = ln(n(1 + 1/n)) = ln(n) + ln(1+1/n),
or ln(1+1/n)> 1/n

(étude des variations de ln(1+x) - x pour prouver cette dernière égalité classique, ça fait un terme à dériver en moins).

Cordialement

[Purrace]

Merci de vos reponses mais pour la 2 question , avec Un est ce quelqu'un pourrait verifier car je craint avoir faux