Group,coset,subgroup

[eratos]

Salut!
Alors: j'ai besoin de comprendre 2 trucs sur les cosets (co-ensembles en francais?)

1)G est un groupe (fini), H un sous groupe de G, pourquoi la réunion des coset de H dans G c'est G lui même?
je sais pas si c'est bien dit:

J'ai fait:
Soit x dans G x=xe est dans xH (e est dans H), première inclusion démontrée.
Pour l'inclusion inverse:
x est dans la reunion des cosets donc dans un coset en particulier (deux cosets sont soit égaux, soit leur intersection est vide), notons le aH.
il existe h dans H tel que x=ah. Comme a est dans G et h dans H c G ah est dans G.

2)pourquoi (ordre de G)=(index de G dans H)*(ordre de H)?
C'est une égalité qui semble être omniprésente par la suite. La démonstration ne semble pas compliqué, c'est peut etre juste la notion d'index que je digère pas :lol3:

[Doraki]

C'est quoi ta définition de index de H dans G ?

[arnaud32]

regardes cu cote des classes d'equivalence d'un sous groue et du th de lagrange:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_suivant_un_sous-groupe

[eratos]

regardes cu cote des classes d'equivalence d'un sous groue et du th de lagrange:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_suivant_un_sous-groupe

Merci :zen:
comme prévu, c'était pas sorcier.

Doraki: index= indice :lol3:

[eratos]

Hello
G un groupe tel que x dans G => x²=e
Montrer G est commutatif, déduire que si G est fini, son ordre est une puissance de 2.

G commutatif ok: xx=e donc x=, puis xy===yx

pour l'ordre, je me suis dit que j'allais faire une récurrence. Voilà ce que j'ai fait:

card{e}=1 = 2^0
Soit G un groupe tel que cardG = 2^n:
on pose H=GU{a}. on veut former un groupe I avec les éléments de H. on compose chaque élément x de G
avec a, on a ax =. On crée ainsi un groupe qui contient le double d'éléments de G. cardI=2^n+1

Après, comment faire une démonstration correcte? ou y a t'il plus simple?

[Doraki]

Là tu as montré (par récurrence) que pour tout n il existait un groupe de cardinal 2^n qui vérifie la propriété demandée.

Tu pensais ptetre à dire comment on peut construire des sous-groupes de G de taille 2^n, qui soit de plus en plus gros, jusqu'à au final obtenir G tout entier :

{e} est un sous-groupe de G qui est de taille 2^0, donc l'ensemble des sous-groupes de G de taille 2^m n'est pas vide.
Soit H un sous-groupe de G qui soit de taille 2^m, et supposons que H<>G. On va construire un sous-groupe H' de G de taille 2^(m+1) :
Comme H<>G il existe un élément x dans G mais pas dans H.
On regarde le groupe H' = le sous-groupe de G engendré par H et x. H' contient H et Hx, et on vérifie aisément (grâce à la commutativité de G et à x² = e) que H u Hx est un sous-groupe de G, donc H' = H u Hx.
Donc H' est un sous-groupe de G de taille 2^(m+1).

Comme G est fini, on ne peut pas répéter cette maneuvre indéfiniment et donc on trouve un sous-groupe H de G de taille 2^m, tel que H=G (on regarde l'ensemble des sous-groupes de G de taille une puissance de 2. C'est un ensemble fini donc il admet un maximum. Ce maximum est forcément G vu ce qu'on a fait au-dessus). Donc l'ordre de G est une puissance de 2.

[eratos]

Là tu as montré (par récurrence) que pour tout n il existait un groupe de cardinal 2^n qui vérifie la propriété demandée.

Tu pensais ptetre à dire comment on peut construire des sous-groupes de G de taille 2^n, qui soit de plus en plus gros, jusqu'à au final obtenir G tout entier :

{e} est un sous-groupe de G qui est de taille 2^0, donc l'ensemble des sous-groupes de G de taille 2^m n'est pas vide.
Soit H un sous-groupe de G qui soit de taille 2^m, et supposons que HG. On va construire un sous-groupe H' de G de taille 2^(m+1) :
Comme HG il existe un élément x dans G mais pas dans H.
On regarde le groupe H' = le sous-groupe de G engendré par H et x. H' contient H et Hx, et on vérifie aisément (grâce à la commutativité de G et à x² = e) que H u Hx est un sous-groupe de G, donc H' = H u Hx.
Donc H' est un sous-groupe de G de taille 2^(m+1).

Comme G est fini, on ne peut pas répéter cette maneuvre indéfiniment et donc on trouve un sous-groupe H de G de taille 2^m, tel que H=G (on regarde l'ensemble des sous-groupes de G de taille une puissance de 2. C'est un ensemble fini donc il admet un maximum. Ce maximum est forcément G vu ce qu'on a fait au-dessus). Donc l'ordre de G est une puissance de 2.

merki :lol3:
J'aurais pas trouvé, c'était assez technique. merci. A bientôt pour de nouvelles questions.

Une tout de suite: vous avez des liens d'exos sur les groupes? j'ai trouvé celui là sur exo7.

[Doraki]

ben nan c'est pas technique, c'est exactement ce que t'as dit sauf qu'on raisonne tout le temps à l'intérieur de G.

[eratos]

Hello =)

Soit G un groupe et H un sous groupe d'indice 2 de G. Montrer que H est un sg normal.

Je ne vois absolument pas comment faire.
En gros, Card(G|H)=2 et on veut montrer que pour g de G gH=Hg
Tout ce que je peux dire c'est eH=He, c'est pas gagné :hum:

[Doraki]

Ben y'a quand même d'autres g dans G à part e tels que gH = H = Hg non ?

[eratos]

Ben y'a quand même d'autres g dans G à part e tels que gH = H = Hg non ?

Bah tout les g dans H :lol3:

L'indice de H das G est 2, ça veut bien dire qu'il il y a seulement 2 classes a gauche modulo H distinctes autrement dit que G|H ={xH, yH} pour des certains x et y distincts de G... ?
:marteau:

[Doraki]

oui ça veut dire qu'il n'y a que 2 classes.
G est donc la réunion disjointe de H et xH pour n'importe quel x qui n'est pas dans H.

[eratos]

Je résume:
H est d'indice 2 dans G donc G|H={H, xH} pour x dans G-H
On a pour tout g dans H, gH=H=Hg
Il reste a voir pour les g qui ne sont pas dans H donc dans xH (disjonction).
On veut donc montrer que pour tout g dans xH: gH=Hg

g dans xH s'écrit xh avec h dans H, z dans gH <=> z=xhh' <=> z est dans xH (car H groupe)
Autrement dit gH=xH pour tout g dans G-H
(je ne fais que prouver que G|H est d'indice 2 c'est ca?)
je cherche, j'ai tout les éléments pour résoudre cette affaire mais rien à faire...
je pense même à introduire des morphismes dans l'histoire

[Doraki]

Le fait que H soit d'indice 2 nous dit que les classes à droites de H dans G sont H et xH pour un (n'importe lequel, en fait) x de G privé de H.

Donc g est dans xH <=> g n'est pas dans H.

Tu peux remarquer que la condition de droite est symétrique, et par là je veux dire qu'elle ne change pas quand on remplace g par g-1 partout. Or cette opération retourne le sens de composition du groupe.

Et donc, xH est symétrique :

g est dans xH
<=> g n'est pas dans H
<=> g-1 n'est pas dans H-1 (on applique l'inversion)
<=> g-1 n'est pas dans H (H est symétrique parceque c'est un sous-groupe de G)
<=> g-1 est dans xH
Donc (xH) = (xH)-1.

Or le symétrique d'une classe à droite, c'est une classe à gauche :
(xH)-1 = H-1x-1 = Hx-1.
Donc xH est aussi la classe à gauche de x, donc xH = Hx.

Donc en fait, G est la réunion disjointe de H et de G privé de H, qui sont des classes des deux cotés.
Donc pour tout g dans G,
ou bien g est dans H et Hg = gH = H
ou bien g n'est pas dans H et Hg = gH = G privé de H

(plus généralement, H est normal <=> les classes à gauche sont aussi des classes à droite <=> les classes à droite sont aussi des classes à gauche)

[eratos]

merci Doraki :zen:

Un autre exo:
on veut montrer que (C*, x) est isomorphe à (R+ X R|2piR , x)
indice: regarder la map:

donc on veut montrer que c'est un homomorphisme bijectif.
bijection ok
morphisme: j'arrive pas, pourquoi ?

[Doraki]

Parceque tu as pas recopié correctement les définitions de f et de + dans f((r,;))+(r',;)'))

[eratos]

J'ai trouvé l'exo dans l'undergraduate algebra de serge lang. Et c'est bien le groupe multiplicatif des réels positifs.
Let D be the subgroup of R generated by 2pi. Let R+ be the multiplicative group of positive real numbers, and C* the multiplicative group of non zero complex numbers. Show that C* is isomorphic to R+ X R|D under the map (r,o) -> r exp(io)

Sinon, oui c'était facile (enfin, à première vue) :lol3:

[Doraki]

la loi de R+, c'est la multiplication
la loi de R/D, c'est l'addition
Donc dans le produit cartésien, (r,;))(r',;)'), c'est (rr', ;)+;)') et pas (rr',;);)')

[eratos]

la loi de R+, c'est la multiplication
la loi de R/D, c'est l'addition
Donc dans le produit cartésien, (r,;))(r',;)'), c'est (rr', +;)') et pas (rr',;);)')

Ouais, je n'y ai pensé mais il est clair que R/D muni de "fois" n'est pas un groupe ({0} n'as pas d'inverse).Mais ça me prend la tête, j'ai tout mélangé et maintenant que je mets tout à plat sur une feuille ça va mieux.
Je m'en vais me familiariser un peu plus avec ces concepts avant d'intervenir à nouveau :triste: