par Robic » 23 Juil 2014, 18:54
Pour la décomposition en facteurs premiers, la méthode qu'on m'avait enseigné autrefois était de chercher à diviser ce nombre par 2, puis par 3, puis par 5, puis par 7, etc.
Pour ça il faut connaître les critères de divisibilité.
- Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (lapalissade...)
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est. (Si la somme est divisible par 9, il est divisible par 9, ça donne deux facteurs premiers d'un coup.)
- Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 7 si, heu... si la division euclidienne par 7 donne un reste nul (il existe un critère compliqué que je n'ai jamais réussi à retenir).
- Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres de rang pair moins la somme des chiffres de rang impair donne un résultat divisible par 11 (y compris 0).
- Ensuite il faut essayer : 13, 17, 19, 23, 29... jusqu'à la racine carrée du nombre. (Il faut donc connaître les "premiers" nombres premiers. Jusqu'à 100 c'est très facile : ce sont tous les nombres qui ont « l'air d'être premiers » (pas divisibles par 2, 3, 5, 11) sauf 91.)
Exemple : décomposer 627.
- 627 n'est pas divisible par 2.
- 6+2+7 = 15 donc il est divisible par 3 : 627 = 3 x 209. Maintenant on décompose 209.
- Pas divisible par 5, pas par 7 (210 est divisible par 7 : c'est 7x30, donc 209 ne l'est pas).
- (2+9) - (0) = 11, donc 209 est divisible par 11 : 209 = 11 x 19. Reste à décomposer 19.
- 19 est un nombre premier.
Conclusion : 627 = 3 x 11 x 19.
(Si tu n'as pas droit à la calculatrice mais que tu as droit de poser les opérations, je pense que c'est jouable en 1m30s. Si par contre tout doit être fait de tête, c'est moins facile. Mais dans mon exemple c'est faisable en étant astucieux. Par exemple pour 627/3, on voit que 600/3=200 et 27/3=9 donc le résultat est 209. Pour la divisibilité par 7 il suffisait de voir que 210 l'est, donc pas 209. C'est peut-être ce genre d'« astuce » qu'on attend des candidats ?)