Géométrie3

[Jjl]

Bonjour j'ai fais cet exercice:
(O,i,j,k) est un repère othonormal de l'espace.
On donne des points:
A(1,0,1) B(0,0,2),C(-1,2,5) et D(-4,3,3).
1)Calculer AB*AC
2)Donner une équation cartésienne de du plan P passant par A,B,C.
3) Donner une représentation paramétrique de la droite W passant par le D et orhogonal au plan P.
4) Soit H(x,y,z le projeté orthogonal du point
a)vérifier que les coordonées(x,y,z) de H sont solution du système:
S: {x-y+z-2=0
{x=-4-k
{y=3+k
{z=3-k
b) Calculer les cordonnées de H.
Alors je vais répondre petit a petit.
1)AB^AC= n(-2,2,-2) avec n le vecteur normal.
2)P: -2x+2y-2z+4=0
3) W: {x=-2t-4;y=3+2t;z=-2t+3. et c'est ce que mon prof à trouvé tout comme moi.
Mais la question 4 me dérange parce que j'avais écris "comme H appartient P alors on a DH=k*n ,l'équation du plan c'est P: -2x+2y-2z+4=0 et (x+4,y-3,z-3)=(-2k,2k,-2k); d'ou
S :{-2x+2y-2z+4=0
{x=-4-k
{y=3+k
{z=3-k Mais je pens que mon erreur vient du faite que j'ai créer un nouveau système,il fallait gardé celui qu'on m'a donné je pense. car mon prof a écrit:
Comme H appartient P alors on a x-y+z-2=0 et (x+4,y-3,z-3)=(-k,k,-k); d'ou
S :{x-y+z-2=0
{x=-4-k
{y=3+k
Et -4-k-3-k+3-k-k d'ou k=-2,mais même si j'aurai du gardé le système initial, je pensais que les deux système étaient équivalent donc je devrais trouvé le même k,mais peut être que mon prof s'est trompé pour le k,j'ai ai l'impression. Car il trouve H(-2,1,5).

[chan79]

salut
donc l'équation de P est -2x+2y-2z+4=0 ou plus simplement -x+y-z+2=0
H(x,y,z)
H est un point de W donc il existe un k tel que
x=-4-k
y=3+k
z=3-k
on remplace x, y et z dans l'équation de P pour obtenir la valeur de k
4+k+3+k-3+k+2=0
3k+6=0
k=-2
les coordonnées de H sont
x=-4+2=-2
y=3-2=1
z=3+2=5
H(-2,1,5)

[Jjl]

Ok,merci pour ton aide,mais mon erreur vient du fait que je n'ai pas gardé le système ?
Si ce n'est pas le cas,d'où vient mon erreur?

[chan79]

Ok,merci pour ton aide,mais mon erreur vient du fait que je n'ai pas gardé le système ?
Si ce n'est pas le cas,d'où vient mon erreur?

Tu as la bonne valeur de k ( c'est bien -2)

[Jjl]

Ma représentation paramétrique c'étai:
{x=-4-2k
{y=3+2k
{z=3-2k et je ne trouve pas k=-2 donc je me suis trompé, et la représentation paramétrique que j'ai écrite c'est celle de mon prof

[chan79]

c'est x=-4-k

[deltab]

Bonjour.

Ma représentation paramétrique c'étai:
{x=-4-2k
{y=3+2k
{z=3-2k et je ne trouve pas k=-2 donc je me suis trompé, et la représentation paramétrique que j'ai écrite c'est celle de mon prof

Il ne faut pas s'étonner qu'on trouve des valeurs différentes de . Elles dépendent de la paramétrisation choisie pour la droite . Les 2 paramétrisations et sont valables.
Pour la 1ère, on a pris comme vecteur directeur (-2;2;-2) et pour la seconde (-1;1;-1) et ces 2 vecteurs sont bien colinéaires (-2;2;-2)=2(-1;1;-1). Quelle est celle que ton prof a pris? k=-2 correspond à la deuxième paramétrisation, pour la première, k=1. Mais on doit trouver le même point H, ce qui est bien le cas.

[Jjl]

Oui c'est bien ce que je me disais,on doit obtenir le même H,mais j'ai du faire une erreur de calcul pour le H.

[deltab]

Tu as dû trouver k dans une des paramétrisation de W et utiliser l'autre paramétrisation pour trouver les composantes de H.
Tu n'as pas répondu à ma question: quelle est la paramétrisation que ton prof a pris?

[Jjl]

Ah désolé j'avais pas vu,il a pris le deuxième équation paramétrique mais je pens que c'est parce que c'était dans l'énoncé
" 4) Soit H(x,y,z le projeté orthogonal du point
a)vérifier que les coordonées(x,y,z) de H sont solution du système:
S: {x-y+z-2=0
{x=-4-k
{y=3+k
{z=3-k
b) Calculer les cordonnées de H."

[deltab]

Bonjour.

1) Le vecteur n(-2,2,2) que tu as trouvé est le résultat du produit vectoriel est donc un vecteur normal au plan P c.à.d. orthogonal au plan P (propriété du produit vectoriel). Le vecteur (-1,1,-1) (de même (1,-1,1)) est aussi un vecteur normal à P (car colinéaire au vecteur n(-2,2,2)
2) Pour déterminer une équation cartésienne du plan P, tu as dû utiliser cette propriété d'orthogonalité donc de produit scalaire nul, et dire par exemple où est un vecteur normal à P, on pouvait prendre ou ou encoure ..., on pouvait aussi prendre au lieu de , ou

[Jjl]

Oui effectivement,ces vecteurs sont colinéaires donc les plans sont parallèles et les équations des plans sont équivalentes .

[deltab]

Oui effectivement,ces vecteurs sont colinéaires donc les plans sont parallèles et les équations des plans sont équivalentes .

et comme ils ont en commun au moins un point, ils coïncident.

[deltab]

Oui effectivement,ces vecteurs sont colinéaires donc les plans sont parallèles et les équations des plans sont équivalentes .

Oui effectivement,ces vecteurs sont colinéaires donc les plans sont parallèles et comme ils ont en commun au moins un point, ils coïncident et les équations du plan sont équivalentes.
On parle d'équations équivalentes pour un même plan.