Formule de crible [théorie des nombres]

[mathelot]

coucou,

Calculer un nombre de nombres premiers ?

c'est parti.... vous me direz si c'est bon.... :zen:

le but de la manip, regarder le nombre d'entiers premiers
dans l'intervalle

soit ce cardinal
, c'est le nombre d'entiers premiers
dans l'intervalle

comme est composé,
, est le nombre d'entiers premiers
dans l'intervalle ouvert

On passe au complémentaire.

On regarde le nombre d'entiers composés dans l'intervalle ouvert

on les obtient, nos entiers composés :zen: , comme des produits xy
vérifiant
, y en a
et sur l'hyperbole d'équation , y en a

On trouve comme nombre de points intérieurs au domaine à coordonnées
entières


Les entiers premiers , 7 par exemple, ne donnent pas de points intérieurs
au domaine, puisque l'équation xy=7 donne uniquement les solutions
(x=1;y=7) et (x=7;y=1)

après, il faut faire le lien entre le nombre de points à coordonnées entières
sur l'hyperbole d'équation xy=pq et le produit P=pq

l'intérêt du truc, c'est que les points intérieurs au domaine correspondent aux
produits k=pq composés du bord (et pas aux nombres premiers) ...

[Ben314]

Salut mathelot,
A mon avis, le GROS problème, c'est la formule de Pick appliquée à un domaine qui n'est pas un polygône, ça ne marche pas du tout (il me semble qu'il faut un polygône ET en plus, que les sommet soient des points entiers pour que ça marche).
Pour t'en convaincre, regarde ce que ta formule prédit comme nombre de premiers par exemple entre 128 et 256 et vérifie sur une table de premier : je conjecture trés fort que ça marche pas.
Tu peut aussi essayer de voir ce que donne ta version de la formule de Pick avec des cercles centrés en un point pas forcément à coordonnées entières et de rayon R quelconque.
Ne connaissant que la surface du cercle, tu ne peut pas en déduire le nombre de points à l'intérieur du cercle...

Par contre il risque d'y avoir des inégalités entre Surface et Nb_de_points_entiers et (peut-être) peut-on en déduire quelque chose de non trivial concernant le nombre de premiers entre a et b pour certains a et b.

Historiquement, il me semble que le premier résultat "non trivial" prouvé concernant les nombres premier est le fait qu'il existe toujours un premier entre n et 2n (je me rapelle plus qui l'à établi...)
Une preuve (relativement) élémentaire (mais longue) utilise des majorations/minorations du coeff binomial (2n n)...

Edit :Sans certaines hypothèses sur le domaine, il n'y a aucun lien entre Surface et Nb_de_points_entiers : on peut trouver des rectangle de surface trés petite contenant autant de points entier que l'on veut et d'autre de surface aussi grande que l'on veut avec aucun point entier...

[mathelot]

Salut mathelot,
A mon avis, le GROS problème, c'est la formule de Pick appliquée à un domaine qui n'est pas un polygône, ça ne marche pas du tout (il me semble qu'il faut un polygône ET en plus, que les sommet soient des points entiers pour que ça marche).

On verra après:

i) la frontière du domaine est assez régulière,avec des hyperboles.
peut-être qu'asymptotiquement ça marche
et les sommets sont entiers

ii) l'autre souci, c'est que l'on doit déterminer le nombre de points
à coordonnées entières sur l'hyperbole d'équation avec

c'est donc le nombre de diviseurs d(n) de n.
je pensais que d(n) se calculait facilement, avec

y-a-t-il une formule pour calculer d(n) ?

je regarde les d(k) sur le segment horizontal (on va finir avec une formule de Green si ça continue :we: )

d'équation et



i= nombre de points intérieurs du domaine "hyperbolique"

(à gauche, on somme le nombre de diviseurs de j=d(j) quand j parcourt le segment horizontal. et à droite , les indices j composés donne le nombre de points intérieurs du domaine et les indices j premiers donnent exactement deux diviseurs)

[mathelot]

à la louche, on tombe sur une formule qui donne le nombre d'entiers premiers
comme une sommation sur les d(k). donc les "d(k)" feront office de densité
de la mesure de comptage des entiers premiers. on peut s'attendre à quelque chose comme ça. Plus d'autres termes en qui eux sont calculés.

[yos]

Salut.

Entre les courbes et il y a une infinité de points à coordonnées entières dans un domaine d'aire arbitrairement petite.

[mathelot]

bon, Yos étant sceptique, il faut que je rédige quelque chose de précis.
En tous cas , l'idée a été exposée: appliquer, peu ou prou, la formule de Pick
à un quadrant bordé par deux hyperboles équilatères d'équations
et

On a vû que le domaine est sans trous , les points intérieurs appartenant tous à
une hyperbole

@Yos: le contre-exemple est juste mais qu'a-t-il à voir avec la démo ?
ici tous les points sont à coordonnées entières (strictement positives)

[yos]

bon, Yos étant sceptique, il faut que je rédige quelque chose de [I]précis[/I

Je disais ça en passant : ne te fatigue pas pour moi.

le contre-exemple est juste mais qu'a-t-il à voir avec la démo ?
ici tous les points sont à coordonnées entières (strictement positives)

Je peux translater mes deux courbes d'une unité vers le haut.

[mathelot]

re,

je n'ai pas compris en quoi gênaient vos contre-exemples...

sinon, on peut construire un polygone de Pick avec les cordes
des points à coordonnées entières
sur l'hyperbole d'équation
car cette courbe est convexe

il faut évaluer le nombre
de points à coordonnées entières sur les segments




quand , ce qui n'est pas immédiat, les dyadiques étant denses dans [0;1]

[mathelot]

re,

Avec des nombres parfaits de la forme



qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs propres,

l'aire comprise entre deux hyperboles d'équation et reste bornée par 3, tandis
que le nombre de points , à coordonnées entières sur les deux hyperboles, tend vers l'infini avec l'entier n.

Le problème vient du fait que l'enveloppe convexe de ces points n'est pas trop une "surface" mais ressemblerait plus à une hyperbole qu'à autre chose...

i) ce n'est pas grave,je n'applique pas le théorème de Pick à ce genre d' enveloppe mais au domaine plus "aéré" , délimité par l'enveloppe convexe de points situés sur une seule hyperbole et sur les axes.

ii) Tout de même,
si on considère deux nombres parfaits successifs, et , ils ont pas mal de diviseurs et l'enveloppe
convexe des poins entiers situés sur les deux hyperboles a une forme extrêmement proche d'une hyperbole. Wiki indique alors que l'on peut utiliser la formule de Pick avec un qui serait une fonction de topologie algébrique (cohomologie) .
Quelles sont les propriétés de cette fonction ?

d'où, question:
comment obtenir la caractéristique d'Euler de l'enveloppe convexe des points à coordonnées entières situés
- sur les hyperboles d'équation et
- dans le quadrant et

[yos]

si on considère deux nombres parfaits successifs, et ,

Disons et .

[mathelot]

re,

je flaire la chose suivante ???:

les hyperboles ont pour équation xy=k
en passant au log et en posant u=ln(x),v=ln(y)

ln(x)+ln(y)=k'

v=-u+ln(k) équation de droites

est-ce qu'il y aurait une métrique qui ferait des hyperboles, des géodésiques ?

autre constatation:
si R est un entier naturel non nul , que l'on écrit en produit de facteurs premiers


et P,Q un couple de diviseurs de R tel que PQ=R



les exposants sont liés par les égalité


les points à coordonnées entières de l'hyperbole peuvent être vus
comme une variété affine , voire même un convexe,ie, l'intersection
d'hyperplans, les exposants faisant office de coordonnées.

donc, il me faudrait une métrique:
que les hyperboles deviennent des géodésiques
que la métrique ait de bonnes propriétés arithmétiques
que les nombres premiers soient vus comme des points formant
une droite avec un point à l'infini
puisqu'ils n'ont qu'un diviseur premier.
(il n'y a pas d'autre facteur pour définir un autre point d'une géodésique)

c'est beaucoup demander...


le souci, c'est que la distance du
demi-plan de Poincaré donne pour géodésiques des cercles et pas des hyperboles.

peut-être


où les sont les exposants de la factorisation canonique des entiers p et q en facteurs premiers .

elle est pas mal cette distance. elle est invariante par multiplication par un facteur premier