Fonctions équations différentielles

[Victhemath]

Bonjour, j'ai un petit problème de compréhension sur une étape de calcul, voici l'énoncé:
"Trouvez toutes les applications f E D(R,R) telles que: pour tout x,y E R², f(x+y)=f(x)f(y).

Dans mon corriger, on évalue pour y=0:
f(x)=f(x)*f(0)
Et on en tire la conclusion que:
f(0)=1 ou ou f(x)=0

On dit ensuite que:
f(x+y)=f'(x)*f(y)
f'(y)=f'(0)*f(y)

Pouvez-vous m'expliquer les lignes en rouges s'il-vous-plaît ?

[Black Jack]

f(x)=f(x)*f(0)
f(x) - f(x)*f(0) = 0
f(x).(1 - f(0)) = 0

Et donc soit f(x) = 0, soit f(0) = 1
*****

Pour la suite, il me semble qu'il y a bisbrouille.

:zen:

[Victhemath]

Merci pour l'étape ! :)

Passons s'il y a eu erreur...
J'ai à nouveau un soucis concernant une fonction de cette forme:

(1-x²)y'-2xy=x²
Je dois la résoudre sur ]-1,1[
Comment dois-je faire, y-a-t'il 2 cas ?
J'ai pas eu de problèmes sur ]-inf,-1[ et sur ]1,+inf[ mais là, je voie pas :(

[eriadrim]

Pour la deuxième :


On fixe dans et on fait varier

Donc en dérivant la relation par rapport à :
A gauche on obtient :
A droite on obtient : (car est fixé donc est une constante )

D'où (le ' a été oublié ici)
La relation étant valable pour tout , on peut choisir et donc :
.

Pour la deuxième question, il n'y a pas de différence lors de la résolution, le seul passage délicat et où il faut faire TRES attention c'est que comme il y a discontinuité des solution en -1 et 1, les constantes d'intégrations sur les trois intervalles sont à priori différentes.

[Victhemath]

Parfait, merci beaucoup ça m'avance bien ! :)
Du coup, pour la résolution sur ]-1,1[, ma solution est de la forme:
k3*(exp(-ln(1-x²)) ?

Parce que ne connaissant pas réellement le signe de x, je ne peux pas en déduire ce que je dois mettre dans mon logarithme ?

[eriadrim]

Parfait, merci beaucoup ça m'avance bien !
Du coup, pour la résolution sur ]-1,1[, ma solution est de la forme:
k3*(exp(-ln(1-x²)) ?

Parce que ne connaissant pas réellement le signe de x, je ne peux pas en déduire ce que je dois mettre dans mon logarithme ?

Il ne faut pas oublier que une primitive d'une fonction de la forme est et non pas . Du coup dans ton cas tu pourras intégrer quelque soit le différent de 1 ou -1.

Donc la solution que tu as est correct, et il ne te manque plus que la solution particulière.

[Victhemath]

Haha ! un rappel à la règle ne fait pas de mal.
Merci beaucoup à vous tous :)

[Victhemath]

Je m'excuse d'avance pour le double post, j'ai une fonction:
f(x)=(arctan(x²))/x et f(0)=0

Je dois montrer qu'elle est continue en 0. Je ne sais pas d'où partir.. Quelqu'un pour m'aider ?

[eriadrim]

Essaye d'abord de montrer que .
Ensuite tu dis que et tu conclus

[Victhemath]

Désolé, je ne vois pas où vous voulez en venir :/

[eriadrim]

Tu sais que
Si tu prouve que , par composition des limites :


Et donc

Et pour prouver, que , il faut utiliser le fait que :

[busard_des_roseaux]

quelques remarque sur


si f et g sont réciproques l'une de l'autre






ou bien
avec

[Victhemath]

Merci beaucoup pour vos réponses, elles m'ont été très utiles !

J'ai à nouveau une question concernant la résolution de :
y''+y'+y=tsin(t)
y(0)=2
y'(0)=1

Pour trouver y, j'ai résolu l'équation homogène et comme j'ai ma solution particulière, je peux écrire les solutions de l'équation différentielle. Mais je comprends pas à quoi sert y'(0)=1.
J'ai du louper un truc...