Fonction à plusieurs variables

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soirnt un ouvert de R^n, f: U->R, et g: U->R deux applications différentiables en a appartenant à U. Montrer que l'application f.g est également différentiable et d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a.

Quelqu'un peut m'aider?
Merci
Je me demande aussi si il n'y pas une erreur dans l'énoncé.

[busard_des_roseaux]

d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a.

pour a fixé, l'écriture a-t-elle un sens ?

dg appartient à quele ensemble ?

peut-on la multiplier par g(a) ?

pourquoi le terme de droite désigne une application linéaire ?

une fois répondu à ces questions, multiplies les deux développements limités
auquels on pense naturellement.

[busard_des_roseaux]

je te propose l'exemple suivant pour mieux comprendre ce qui se passe:



developpe f et
calcule en isolant la partie linéaire en (h,k).

[minidiane]

pour a fixé, l'écriture a-t-elle un sens ? oui je pense

dg appartient à quele ensemble ? dg est l'application linéaire de U->R

peut-on la multiplier par g(a) ? oui

pourquoi le terme de droite désigne une application linéaire ? parce que c'est la différentielle

[busard_des_roseaux]

dg appartient à quele ensemble ? dg est l'application linéaire de U->R

pour a fixé, dg est une application linéaire de dans

pour n=1, c'est l'application linéaire
avec .

peut-on la multiplier par g(a) ? oui

L'ensemble de ces applications linéaires forment le dual de et constitue un e.v.

[busard_des_roseaux]

je te propose l'exemple suivant pour mieux comprendre ce qui se passe:



developpe f et
calcule en isolant la partie linéaire en (h,k).

je te fais mon exo pour que tu voies mieux:





Quand on multiplie f par g, on voit apparaitre
l'application linéaire:

[minidiane]

ok mais alors je pense qu'il ya bien une erreure d'énoncé
on ne devrait pas avoir d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a,
mais d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).df_a.

[busard_des_roseaux]

ok mais alors je pense qu'il ya bien une erreure d'énoncé
on ne devrait pas avoir d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).dg_a,
mais d(f.g)_a(h)=f(a).dg_a+g(a).df_a.

oui, c'est clair.

[minidiane]

ok dans l'exemple je le vois très bien mais après pour faite la généralisation je ne vois pas trop comment commencer

[busard_des_roseaux]

f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+o(h)

h est un accroissement infinitésimal

On multiplie les deux développements limités.
Il faut ensuite identifier la partie linéaire et démontrer que le reste est o(h).

Tu peux t'inspirer de la célèbre démonstration de la classe de Terminale
sur la dérivée d'une fonction composée
que qui se fait par les différentielles.

[minidiane]

ok mais il me reste f(a)g(a) je ne vois pas que c'est en o(h)

[busard_des_roseaux]

On étudie l'accroissement des images...

[minidiane]

ok j'avais calculer f(a+h)g(a+h) ce qui me donnait f(a)g(a)+f(a)dg_a(h)+f(a)o(h)+df_a(h)g(a)+df_a(h).dg_a(h)+df_a(h)o(h)+o(h)...
et il me reste f(a)g(a)+f(a)dg_a(h)+df_a(h)g(a)+df_a(h).dg_a(h)

donc ce n'est pas vraiment la bonne manière de procéder si je comprend bien.

[busard_des_roseaux]

reste plus qu'à écrire:



en effet, df(a) et dg(a) sont des applications linéaires d'e.v de dimensions finies donc continues.


avec mon exemple:

[minidiane]

ok merci beaucoup pour ton aide