Fonction à plusieurs variables

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soit f: I->R, I un intervalle ouvert de R. Moontrer qu'elle est différentiable en a appartenant à I ssi elle est dérivable en a dans ce cas on a:
df_a: R->R
h->df_a(h)=f'(a).h

Quelqu'un peut m'aider?
Merci

[ThSQ]

Ton titre parle de plusieurs variables mais le corps de fonction de R -> R ??

Sinon c'est une réécriture :

si f est dérivable en x (f(x)-f(x+h))/h = f'(x) + o(|h|)
ou f(x+h) = f(x) + f'(x)h + h*o(|h|)

h -> f'(x)h est bien linéaire donc f est différentiable

Pareil dans l'autre sens

[minidiane]

ok merci, c'est vrai qu'icci c'est une fonction à une seule variable.
Pour l'autre sens je bloque toujours un peu.
J'ai (f(x)-f(x+h)-L(h))/||h||->0 quand h->0.
Mais je ne vois pas trop comment continuer pour aboutir à quelque chose qui ressemble à (f(x)-f(x+h))/h = f'(x) + o(|h|)
:mur:

[alavacommejetepousse]

bonjour
il suffit de connaitre la forme des applications linéaires de R dans R

[ffpower]

L est linéaire sur R donc L(h)=ah ou a =L(1)...

[minidiane]

Je sais que
L'application ƒ est une application linéaire si et seulement si :


Mais je ne vois psa trop le rapport :marteau:

[alavacommejetepousse]

je te parle de la forme PRECISE pour une application linéaire de R dans R ...(vue au collège)

[minidiane]

oula je me souvient plus alors

[alavacommejetepousse]

comment est une matrice carrée de taille 1 ?

[minidiane]

une seule variable ou un seul chiffre

[alavacommejetepousse]

qui vaut a
et que vaut l'iamge d'un vecteur h par cette application linéaire ?

[minidiane]

ah? enfin je pense

[alavacommejetepousse]

ben oui


donc L(h) = ah

et a = f ' (x)

[minidiane]

d'où on a L(h)=f'(a)h c'est bien ça???

[alavacommejetepousse]

ben oui c'est ça

[minidiane]

ok donc il ne faut pas travailler sur f(a) et f(a+h) en fait on s'occupe seulement de l'application linéaire ici

[alavacommejetepousse]

?
on cherche bien à montrer que f est dérivable en x

[minidiane]

oui veut montrer que si f différentiable en a alors elle est dérivable en a

[alavacommejetepousse]

j'ai tout dit

existence de L linéaire -> existence de a -> existence d'une limite finie du taux d'accroissement-> dérivabilité

[minidiane]

ok merci beacoup pour ton aide :++: