Fonction et limite

[zelda007]

Bonjour, dans le cadre d'un dm :

Soit I un intervalle de R et (fn) une suite de fonctions définies sur I à valeurs dans R. Soit f une fonction de I dans R.

1) On dit que la suite (fn) converge simplement vers f lorsque pour tout x de I, la suite de nombres réels (fn(x)) converge vers f(x).

a) dans cette question, I = [0, 1] et f(n)(x) = x^n. Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f dont on trouvera l'expression.

b) si (fn) converge simplement vers f et si chaque fn est continue sur I, la limite simple f est elle nécessairement continue sur I ?

Alors, pour tout vous dire, j'ai pas bien compris les deux questions et je ne vois pas comment résoudre ce problème.

Merci

[Monsieur23]

C'est bien simple en fait :

Tu cherches la fonction

[zelda007]

Excuse moi... mais j'ai pas très bien compris ta réponse !

On cherche une suite fn(x) qui converge vers f(x). Quel est le rapport avec ta fonction ?

[Monsieur23]

Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f dont on trouvera l'expression.

L'expression, c'est celle que je t'ai donnée.
Il ne te reste plus qu'à prouver que pour tout x dans [0,1], la limite sur n de fn(x) existe, et tu dois donner sa valeur.

[zelda007]

euh, la lim fn(x) = lim x^n = + l'infinie quand n tends vers l'infinie ?
Je comprends pas trop le raisonnement !?

[Monsieur23]

Ha non.

Quand si x est entre 0 et 1, x^n ne tend pas vers l'infini !

[zelda007]

lool oui désolé ca tends vers 0 (suite géo de raison comprise entre 0 et 1)
Donc en gros, la fonction qui est à définie est la fonction nulle ?

[Monsieur23]

Sauf en 1 ;-)

Ce qui te donne le résultat de la question suivante

[zelda007]

Oui :we:

Ok j'ai compris. Mais je ne vois pas le rapport avec la question a) car tu as donnée la fonction mais comment as tu fais pour la trouver d'une part et on a pas prouvé la convergence simple de la suite (fn) vers f.

[Monsieur23]

"1) On dit que la suite (fn) converge simplement vers f lorsque pour tout x de I, la suite de nombres réels (fn(x)) converge vers f(x)."

C'est la définition de limite simple.

Ici, si tu considères la fonction f définie par f(x)=1 si x=1 et f(x)=0 sinon, tu as bien "Pour tout x de I, la suite (fn(x)) converge vers f(x)"
Donc (fn) converge simplement vers f.