C'est mort ce soir.
Alors c'est moi qui poserai une question.
Soit E un espace métrique compact et
Démontrer que f est surjective.
Expansion
26 messages
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par tize » 29 Nov 2006, 11:18
Je cherche, je cherche :mur:
Juste une petite question : on ne suppose même pas que f est continue ?
si oui je pense y être arrivé, sinon je vois vraiment pas...
Juste une petite question : on ne suppose même pas que f est continue ?
si oui je pense y être arrivé, sinon je vois vraiment pas...
par alben » 29 Nov 2006, 12:55
Bonjour,
Sans la continuité on peut montrer que l'adhérence de f(E) est égale à E. Pour le reste je donne ma langue au chat
Sans la continuité on peut montrer que l'adhérence de f(E) est égale à E. Pour le reste je donne ma langue au chat
par tize » 29 Nov 2006, 16:19
Bon je me lance,
supposons f non surjective et soit)
et )
. _n)
est une suite dans un compact, il existe donc (B.W.) une application strictement croissante 
et 
tels que },b)\to 0)
. On a aussi avec la propriété de l'exercice:
},b\)+d\(b,y_{\varphi(n-1)}\)\geq d\(f^{\varphi(n)}(y),f^{\varphi(n-1)}(y)\)\geq d\(f^{\varphi(n-1)}(y),f^{\varphi(n-2)}(y)\)\geq...\geq d\(f(y),y\))
.
Puisque},b\)\to 0)
on a nécessairement ,y)=0)
. Contradiction avec ce qui est supposé au début donc f est surjective.
supposons f non surjective et soit
Puisque
par yos » 29 Nov 2006, 16:36
Bien vu mais... c'est pas bon (je crois).
Entre)
et )
, il y a plus d'un entier en général, donc tu aboutis à la fin de tes inégalités à -\phi(n-1)}(y),y))
et pas à ,y))
. Tu as toujours un f de quelquechose, mais ce quelquechose a le malheur de dépendre de n, et du coup tu ne peux pas conclure.
Mais c'est la bonne piste.
Entre
Mais c'est la bonne piste.
par tize » 29 Nov 2006, 16:42
Et zut! oui tu as raison, je me suis trop vite emballé...je m'y remet...merci.
par alben » 29 Nov 2006, 16:53
Eh oui, j'avais fait la même chose pour montrer que "y" adhère à f(E) ...
Mais je ne vois toujours pas comment aller plus loin
Mais je ne vois toujours pas comment aller plus loin
par yos » 29 Nov 2006, 17:53
tize a écrit:Et zut! oui tu as raison, je me suis trop vite emballé...je m'y remet...merci.
En fait il y a une raison structurelle à la "faillite" de ta preuve : tu prouves un truc un peu trop fort, à savoir que f est l'identité. Alors que si ton compact est un cercle par exemple, il a une infinité d'isométries, donc d'expansions.
Je suis content que vous vous intéressiez à ce problème. L'énoncé m'avait impressionné lorsque j'étais tombé dessus il y a assez longtemps. Il a été donné à l'ENS en 1980.
par alben » 29 Nov 2006, 17:54
Mais oui mais c'est bien sûr !
Si l'on prend un couple (x,y) de points de E et que l'on fasse le même raisonnement pour la suite,f^n(y)))
de ExE muni de la métrique produit et également compact, on arrive à la conclusion que pour tout , il existe un p tel que ,x) < \epsilon \; et \ d(y,f^p(y))<\epsilon)
On a donc\leq d(f(x),f(y))\leq d(f^p(x),f^p(y))< 2\epsilon +d(x,y))
et finalement d(x,y)=d(f(x),d(f(y)).
:id:
Si l'on prend un couple (x,y) de points de E et que l'on fasse le même raisonnement pour la suite
On a donc
et finalement d(x,y)=d(f(x),d(f(y)).
:id:
par tize » 29 Nov 2006, 17:55
Il faudrait donc d'abord montrer que c'est une isométrie ? Si c'est le cas, on pourrait alors conclure grâce à la continuité d'une isométrie...
par tize » 29 Nov 2006, 18:06
Bravo Alben ! J'aurai aimé trouver avant toi mais bon :cry: ... On peut maintenant conclure facilement grâce à ce que tu as montré...
Merci beaucoup à tous les deux, c'était un super exercice !
Merci beaucoup à tous les deux, c'était un super exercice !
par alben » 29 Nov 2006, 18:13
Ce sera pour la prochaine fois. :we:tize a écrit:Bravo Alben ! J'aurai aimé trouver avant toi mais bon...
Merci à yos, c'était intéressant
par yos » 29 Nov 2006, 20:13
alben a écrit:pour tout , il existe un p tel que
En rédigeant un peu, il m'a semblé que pour avoir un entier p satisfaisant aux deux inégalités en même temps, on doit travailler un peu. Par exemple prendre une sous-sous-suite...
par tize » 29 Nov 2006, 21:37
ExE est compact. De la suite ,f^n(y)\)_n)
on peut extraire une sous suite }(x),f^{\varphi(n)}(y)\)_n)
qui converge vers \in E\times E)
. Et on peut même choisir 
de manière à avoir -\varphi(n) > \varphi(n)-\varphi(n-1))
pour tout entier n.
Avec ce que j'ai montré tout à l'heure (quand je me suis trompé...) on a :
-\varphi(n-1)}(y),y\) \to 0)
et -\varphi(n-1)}(x),x\)\to 0)
et puisque , -\varphi(n-1)}(x))
est une sous suite de )
qui converge vers 
et -\varphi(n-1)}(y))
est une sous suite de )
qui converge vers 
.
Pour finir :
\leq d\(f(x),f(y)\)\leq d\(f^{\varphi(n)-\varphi(n-1)}(x),f^{\varphi(n)-\varphi(n-1)}(y)\)\to d\(x,y\))
. Donc =d\(f(x),f(y)\))
Avec ce que j'ai montré tout à l'heure (quand je me suis trompé...) on a :
Pour finir :
par yos » 29 Nov 2006, 21:48
L'idée de travailler sur 
est bonne; ça contourne la double extraction. Pour le reste, il n'est pas indispensable d'exhiber des sous-suites qui convergent vers x et y, mais c'est une question de goût.
par tize » 29 Nov 2006, 21:53
yos a écrit:L'idée de travailler sur
Peux tu me montrer comment tu t'y prend s'il te plait, j'aimerai bien voir une autre méthode...
par alben » 29 Nov 2006, 23:02
OK avec ce tu as explicité Tize sauf que dans ta première présentation (message n°5), la sous-suite extraite ne convergeait pas forcément vers x. La démarche est exactement la même pour la double suite, elle ne converge pas forcément vers (x,y). Tu avais appelé "b" la limite de la sous-suite.
Je pense que c'est ce qu'à voulu dire yos.
Mais s'il y a une autre façon de faire, je suis intéressé
edit En relisant, je m'aperçoit que tu es bien parti de sous suite qui converge vers (a,b) mais il n'était pas nécessaire de construire une autre sous-suite convergeant vers (x,y). Tu ne l'avais pas fait dans le post 5
Je pense que c'est ce qu'à voulu dire yos.
Mais s'il y a une autre façon de faire, je suis intéressé
edit En relisant, je m'aperçoit que tu es bien parti de sous suite qui converge vers (a,b) mais il n'était pas nécessaire de construire une autre sous-suite convergeant vers (x,y). Tu ne l'avais pas fait dans le post 5
par tize » 29 Nov 2006, 23:31
Je suis d'accord, dans le message #16 je montre qu'une sous suite (avec )
) tend vers (a,b) et je me sers de cette convergence pour montrer qu'une autre sous suite différente de la première (avec =\varphi(n+1)-\varphi(n))
) converge elle aussi mais vers (x,y).
[EDIT]
Je fais cela pour montrer le caractère isométrique de f, d'ou la continuité
[EDIT]
Je fais cela pour montrer le caractère isométrique de f, d'ou la continuité
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