Bonjour à tous les trois ( et aux autres )
Il serait sympa que l'un d'entre vous fasse une synthèse de tous ses messages , j'en ai fait une pour moi mais n'ayant pas participé au fil , je ne voudrais surtout pas m'imposer .
Imod
Expansion
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par alben » 29 Nov 2006, 23:57
Si j'avais été moins paresseux, je l'aurait rédigé ainsi
On prend un couple (x,y) de points de E
ExE muni de la métrique produit est également compact.
Selon Bolzano Weierstrass, on peut extraire une sous-suite convergente de la suite,f^n(y)\)_n)
Donc il existe une application strictement croissante
telle que }(x),f^{\varphi(n)}(y)\)_n)
converge vers \in E\times E)
.
Pour
donné, on peut trouver 
tel que
}(x),f^{\varphi(n)}(y)\),(f^{\varphi(n_0)}(x),f^{\varphi(n_0)}(y)\)]<\epsilon)
et en posant-\varphi(n_0))
pour alléger l'écriture,
l'application de l'inégalité de départ conduit à :
,f^p(y)),(x,y))<\epsilon \; ou\;encore \; d(f^p(x),x)<\epsilon \ et \;d(f^p(y),y)<\epsilon)
(1)
On a donc\leq d(f(x),f(y))\leq d(f^p(x),f^p(y))< 2\epsilon +d(x,y))
et finalement d(x,y)=d(f(x),d(f(y)).
L'application f est donc une isométrie, donc continue et f(E) est un fermé. Comme il résulte de (1) que tout point de E est adhérent à f(E), f(E)=E.
f est donc surjective
On prend un couple (x,y) de points de E
ExE muni de la métrique produit est également compact.
Selon Bolzano Weierstrass, on peut extraire une sous-suite convergente de la suite
Donc il existe une application strictement croissante
Pour
et en posant
l'application de l'inégalité de départ conduit à :
On a donc
et finalement d(x,y)=d(f(x),d(f(y)).
L'application f est donc une isométrie, donc continue et f(E) est un fermé. Comme il résulte de (1) que tout point de E est adhérent à f(E), f(E)=E.
f est donc surjective
par tize » 30 Nov 2006, 00:38
Je résume tout Imod :
On prend\in E\times E)
qui est compact et on pose )
et )
. )
est une suite dans un compact, la propriété de Bolzano-Weierstrass donne l'existence de 
strictement croissante telle que },y_{\varphi(n)}))
converge vers , on peut même choisir 
de manière à avoir -\varphi(n) > \varphi(n)-\varphi(n-1)=\phi(n))
.
Maintenant en appliquant plusieurs fois f avec l'hypothèse de départ de l'exercice :
-\varphi(n-1)}(y),y\)\leq ...\leq d\(f^{\varphi(n)-1}(y),f^{\varphi(n-1)-1}(y)\)\leq d\(f^{\varphi(n)}(y),f^{\varphi(n-1)}(y)\)\leq<br />d\(y_{\varphi(n)},b\)+d\(b,y_{\varphi(n-1)}\)\to 0)
Donc}(y),y\)\to 0)
et puisque a été choisie de manière à avoir 
strictement croissante, }(y)=y_{\phi(n)})
est une sous suite de 
qui converge vers 
et il en va de même avec })
qui converge vers 
.
En utilisant encore une fois l'hypothèse de départ, on a :
\leq d\(f(x),f(y)\)\leq d\(f^{\phi(n)}(x),f^{\phi(n)}(y)\)\to d\(x,y\))
. Donc =d\(f(x),f(y)\))
, f est une isométrie, elle est donc continue.
De plus comme on l'a montré pour tout
il existe une suite }\to x)
avec }=f^{\phi(n)}(x)\in f(E))
donc })
mais puisque f est continue et que l'image par une application continue d'un compact est compact et donc fermé on a =\bar{f(E)})
pour tout , f est donc surjective.
Au passage f est même bijective puisque l'injectivité découle directement du caractère isométrique de f.
En espérant avoir été clair.
On prend
Maintenant en appliquant plusieurs fois f avec l'hypothèse de départ de l'exercice :
Donc
En utilisant encore une fois l'hypothèse de départ, on a :
De plus comme on l'a montré pour tout
Au passage f est même bijective puisque l'injectivité découle directement du caractère isométrique de f.
En espérant avoir été clair.
par Zebulon » 30 Nov 2006, 06:03
Bonjour,
on m'a donné cet exercice cette année, mais on avait une question intermédiaire. C'était justement l'idée d'Alben :
Alors voilà : vous m'impressionnez ! Comment vous pensez à des trucs comme ça ??
A part ça, merci pour l'idée du passage à
, c'est un bon truc pour éviter ce qu'on a fait, à savoir extraire de )
une sous-suite }))
convergente, puis extraire de }))
une sous-suite convergente }))
et considerer }))
. Je m'en resservirai à l'occasion !
Ce forum me fait vraiment progresser.
on m'a donné cet exercice cette année, mais on avait une question intermédiaire. C'était justement l'idée d'Alben :
alben a écrit:Si l'on prend un couple (x,y) de points de E et que l'on fasse le même raisonnement pour la suitede ExE muni de la métrique produit et également compact, on arrive à la conclusion que pour tout , il existe un p tel que
On a donc
et finalement d(x,y)=d(f(x),d(f(y)).
:id:
Alors voilà : vous m'impressionnez ! Comment vous pensez à des trucs comme ça ??
A part ça, merci pour l'idée du passage à
Ce forum me fait vraiment progresser.
par yos » 30 Nov 2006, 11:32
tize a écrit:Peux tu me montrer comment tu t'y prend s'il te plait, j'aimerai bien voir une autre méthode...
Je reviens assez tard.
Alben a montré dans son message de 23h57 comment on pouvait se passer de suites convergeant vers x et y. Il suffit d'avoir des termes
L'autre point, c'est l'obtention du même p pour les deux suites. C'est ce que j'ai dit plus haut : j'avais fait une double extraction et Tize a montré qu'on pouvait prendre une suite de
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