Exer

[marawita1]

Bonsoir,
J'ai quelques différentes questions:
1) Si f est une fonction strictement croissante sur R et admettant des limites finies en + et -, respectivement l et l', alors l'\mathbb{R}[/TEX] définie par n'est pas de classe sur ?

3) Je cherche une simple démonstration du théorème de Rolle à l'infini: soit une fonction dérivable telle que .
Montrer qu'il existe c tel que f'(c)=0?

Merci d'avance.

[zygomatique]

salut

1/ un peu de sérieux !!! f est strictement croissante ....

si x f'(t) = \dfrac {f(x) - f(a)}{x - a}[/TEX]

et on fait tendre x vers +oo

.... bon ce n'est pas une preuve suffisante ....

[zygomatique]

3/ soit x > a

alors puisque f est continue sur les intervalles [a, x] et [x, +oo[ alors elle prend toutes les valeurs entre f(a) et f(x) sur chacun des deux intervalles

d'après le TVI il existe donc u et v tels que a < u < x < v et f(u) = f(v)

on peut alors appliquer le théorème de Rolle sur l'intervalle [u, v] ....

[Ben314]

si x < y alors f(x) < f(y)

il suffit alors de faire tendre x vers -oo puis y vers +oo ...

Attention : ça, c'est justement LE truc à ne pas répondre : les inégalités strictes ne passent pas à la limite !

Donc il faut bien consciencieusement prendre x<a<b<y pour faire f(x)<f(a)<f(b)<f(y) qui devient

[marawita1]

Attention : ça, c'est justement LE truc à ne pas répondre : les inégalités strictes ne passent pas à la limite !

Donc il faut bien consciencieusement prendre x<a<b<y pour faire f(x)<f(a)<f(b)<f(y) qui devient

Après on fait tendre y vers ??

@zygomatique Pour3) je vois pas où vous avez utilisé la condition

[zygomatique]

sur l'intervalle [a, x] f(t) prend toutes les valeurs entre f(x) et f(a)

sur l'intervalle [x, +oo[ f(t) prend toutes les valeurs entre f(x) et

donc par exemple tu peux considérer qui admet deux antécédents u et v ....



merci Ben314

effectivement avec ce que j'ai écrit on a seulement

si on veut l'inégalité stricte il faut ajouter a et b ....