Etude de fonction

[Serru]

Bonsoir,

J'ai un peu honte de dire ça, mais je ne parviens pas à étudier les variations de cette fonction sur l'intervalle [0, pi] :

x : t |-> cos(4t) + 4cos(t)

La dérivée de cette fonction sur l'intervalle considéré est bien sûr -4(sin(4t) + sin(t))... Mais je n'arrive pas à étudier son signe... J'ai essayé de réécrire sin(4t), sans succès, pourtant une étude de fonctions ça devrait pas être bien difficile...

[emdro]

Bonjour,

Je ne vois pas de méthode très simple pour l'instant.
Ecris sin(4t)=(8cos^3 t -4cos t)*sin t,
et ensuite, tu pourras étudier le signe de ta dérivée:
f'(t)=P(cos(t))*sin t, où P est un polynôme du troisième degré, dont 1/2 est une racine "apparente"!

[Serru]

Ouais, c'était ce sur quoi je m'étais lancé puis arrêté, me disant qu'il y avait certainement une méthode plus simple. Merci bien ^^ Si jamais tu trouves (ou n'importe qui d'ailleurs ^^) une méthode plus simple que celle-ci (Qui est quand même bien bourrine), je suis preneur :id:

[emdro]

Comme ta fonction change trois fois de sens de variation sur ton intervalle, je ne vois pas comment on pourrait échapper à la détermination des valeurs annulant la dérivée.
N'aie pas trop d'espoir pour une méthode plus simple...

[Ourfalli]

Bonjour,
Je pense que, simplement, il suffit de superposer le graphe de sin(4t) et de sin(t)

Sachant que la première a une fréquence 4 fois plus élevée, il convient de faire une comparaison entre les signes de chaque fonction en divisant [0,pi] en 8 intervalles de longueur pi/8.

par exemple :
de [0,pi/8], sin(t)>=0 et sin(4t) >=0 donc la somme et positive.
etc...

[emdro]

Sur les intervalles où les deux termes sont de même monotonie, cela fonctionnera. Malheureusement, à chaque fois que l'une des fonctions sera croissante, et l'autre décroissante, il sera difficile de déterminer le sens de variation de la somme par cette méthode.

[Serru]

Bonjour,
Je pense que, simplement, il suffit de superposer le graphe de sin(4t) et de sin(t)

Sachant que la première a une fréquence 4 fois plus élevée, il convient de faire une comparaison entre les signes de chaque fonction en divisant [0,pi] en 8 intervalles de longueur pi/8.

par exemple :
de [0,pi/8], sin(t)>=0 et sin(4t) >=0 donc la somme et positive.
etc...

J'y avais pensé, avant de voir que sur certains intervalles on ne pouvait pas conclure grand-chose ^^" Je pense aussi ne pas avoir le choix, cela dit un peu de calcul bête de temps en temps, ça ne fait pas de mal :]

[Ourfalli]

Hmm...
Il me semble avoir trouvé une piste...
Effectivement, j'ai fini de gratter ça sur le papier, je code....

[Ourfalli]

les intervalles qui nous posent problème sont et .
Car on a une différence de signe et ce n'est pas la même monotonie entre et .

Car la question de la solution de l'équation (*), se pose.
Pour cela, j'ai fabriqué ce nombre complexe :

Qui s'écrit également :



autrement dit :





résoudre (*) revient à résoudre son équivalent, c'est à dire : .

[emdro]

Effectivement, Ourfalli, cela revient à utiliser la formule:
sin4t+sint=2sin(5/2t)cos(3/2t) (que tu as redémontrée en passant par les complexes).

Et c'est peut-être un peu plus simple.
x'(t)=-8sin(5/2t)cos(3/2t).

Transformer une somme en produit pour étudier un signe n'est jamais une très mauvaise idée!

[Ourfalli]

Oui effectivement,


C'est plus simple.

[Serru]

Ah ouais, j'avais pas pensé à cette formule ^^" Pourtant à savoir...