Etude de fonction

[suwei]

Bonjour à toute et à toutes.
J'ai un petit soucis avec un exo qui sort de ce que je connais d'habitude et par conséquent, je nage un peu.
Le voici :

Sur le cercle unité C, on a un point A d'affixe 1 et un autre point B (distinct de A) d'affixe e^(ia) ( 0< a ;) ;)).
Soit M, un point variable de C, d'affixe e^(it).
En étudiant la fonction : f (t) = | 1- e^(it) | + | e^(ia) - e^(it) |, montrer que la longueur MA+MB admet un maximum local pour exactement deux positions du point M que l'on précisera.


Pour ma part, j'ai pris les barres comme des modules et non des valeurs absolues et j'ai simplifié l'expression de f(t), c'est-à dire que j'ai remplacé e^(it) par " cos t + i sin t " et et e^(ia) par " cos a + i sin a ".
Puis en manipulant avec les formules de trigo, je parviens à :

f(t) = 2 * [ sin (t/2) + sin ((a-t)/2 ) ].
J'en conclut que f est définie sur R et je calcule la dérivée pour avoir les variations de f.
Je trouve : f'(t) = cos (t/2) - cos ((a-t)/2)

Donc voilà où j'en suis avec l'exo.
Je ne sais pas trop si ce que j'ai fait est juste ou pas et j'aimerais donc avoir quelques éclairements concernant ce que j'ai fait et/ou dans la suite.
Par ailleurs, j'ai remarqué que f(t) = MA + MB.

Merci pour vos réponses.

[fatal_error]

Salut,

si f(t)=MA+MB
Il pourrait être utile de dresser le tableau de variation de f.
A priori, l'énoncé dit qu'il y a deux maximumes, on pourrait penser que les solutions t, telles que f'(t)=0 donnent le maximum f(t). Mais bon, en résolvant uniquement l'équation, on ne peut rien déduire.

Pour faire le tableau de signe de f', je pense que tu peux essayer de factoriser f' à l'aide de la formule suivante:

[Maxmau]

Bonjour à toute et à toutes.
En étudiant la fonction : f (t) = | 1- e^(it) | + | e^(ia) - e^(it) |, montrer que la longueur MA+MB admet un maximum local pour exactement deux positions du point M que l'on précisera.

f(t) = 2 * [ sin (t/2) + sin ((a-t)/2 ) ].
J'en conclut que f est définie sur R et je calcule la dérivée pour avoir les variations de f.
Je trouve : f'(t) = cos (t/2) - cos ((a-t)/2)


Merci pour vos réponses.

Bj

f (t) = | 1- e^(it) | + | e^(ia) - e^(it) |
| 1- e^(it) | = |Exp(-it/2)-Exp(it/2|= 2|sin(t/2)|
| e^(ia) - e^(it) | = | 1 - e^(i(t-a)) |= 2|sin((t-a)/2)|
D’où : f (t) = 2 [|sin(t/2)| + |sin((t-a)/2)| ]
En supposant t entre 0 et 2;), on a : f (t) = 2 [sin(t/2) + |sin((t-a)/2)| ]
Il faut ensuite distinguer les cas : t a

[nuage]

Salut,
une heuristique :
f(t)=AM+BM le problème est clairement symétrique par rapport à la médiatrice (d) de AB.
Comme l'énoncé précise qu'il y a 2 maximums et qu'ils sont symétriques par rapport à (d) on a 4 candidats possibles : A et B (mais ce sont des minimums d'après l'inégalité triangulaire) et les points d'intersection de (C) et (d) qui conviennent.

Remarque : ceci n'est pas une démonstration. Mais ça peut éventuellement aider.