Etude de fonction

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici mon exercice :

On considère un nombre réel a et l’application f : R -< R définie par : f(x)=x^ 3+3ax+1

En étudiant les variations de f :
1)a. Montrer que si a >= 0, alors f est une bijection de R sur R.
1)b. Montrer que si a <= 0, alors f n’est pas une bijection de R sur R.

2)a. Montrer que si a < 0, on a : f(;)-a) f(-;)-a) = 4a^3 +1
2)b. En deduire que l’équation [f(x)=0] possède exactement 3 solution dans R ssi :4a^3+1 <0

...............................................................................................................................................

Pour la 1) j'ai dérivé la fonction j'obtiens f'(x)=3x²+3a
Pour que f soit bijective il faut quelle soit continue, monotone et calculer ces limites
Mais je ne vois pas comment faire sans connaitre la valeur de a
Pouvez-vous m'aider merci !

[BiancoAngelo]

Bonjour,
Voici mon exercice :

On considère un nombre réel a et l’application f : R -= 0, alors f est une bijection de R sur R.
1)b. Montrer que si a <= 0, alors f n’est pas une bijection de R sur R.

2)a. Montrer que si a < 0, on a : f(;)-a) f(-;)-a) = 4a^3 +1
2)b. En deduire que l’équation [f(x)=0] possède exactement 3 solution dans R ssi :4a +1 <0

...............................................................................................................................................

Pour la 1) j'ai dérivé la fonction j'obtiens f'(x)=3x²+3a
Pour que f soit bijective il faut quelle soit continue, monotone et calculer ces limites
Mais je ne vois pas comment faire sans connaitre la valeur de a
Pouvez-vous m'aider merci !

Si si tu sais le faire
Si : la dérivée est de quel signe ? Quelles sont limites de la fonction aux infinis ?

Dans la b, l'inégalité doit être stricte !
Il te suffira de montrer que la dérivée change de signe, ce qui est super facile en factorisant !

[Sake]

Bonjour,
Voici mon exercice :

On considère un nombre réel a et l’application f : R -= 0, alors f est une bijection de R sur R.
1)b. Montrer que si a <= 0, alors f n’est pas une bijection de R sur R.

2)a. Montrer que si a < 0, on a : f(;)-a) f(-;)-a) = 4a^3 +1
2)b. En deduire que l’équation [f(x)=0] possède exactement 3 solution dans R ssi :4a +1 <0

...............................................................................................................................................

Pour la 1) j'ai dérivé la fonction j'obtiens f'(x)=3x²+3a
Pour que f soit bijective il faut quelle soit continue, monotone et calculer ces limites
Mais je ne vois pas comment faire sans connaitre la valeur de a
Pouvez-vous m'aider merci !

Bonjour,

1)a) Continue et strictement monotone suffit. Pour s'en assurer, vérifier que f' garde un signe constant et ne s'annule pas.

[BiancoAngelo]

Bonjour,

1)a) Continue et strictement monotone suffit. Pour s'en assurer, vérifier que f' garde un signe constant et ne s'annule pas.

Il est quand même bien d'avoir les limites pour donner l'intervalle image et donc parler correctement de la bijection.

[Maths-ForumR]

Pour a>= 0
La fonction >=0
Et les limites en + et -00 = +00

Ah oui donc :
Le fonction est continue et monotone sur R et limite + et -00 = +00
Donc f est une bijection de R sur R

La rédaction est correcte ?

[Sake]

Il est quand même bien d'avoir les limites pour donner l'intervalle image et donc parler correctement de la bijection.

Cela comporte un renseignement supplémentaire, mais n'est en aucun cas nécessaire à la démonstration.

[BiancoAngelo]

Pour a>= 0
La fonction >=0
Et les limites en + et -00 = +00

Ah oui donc :
Le fonction est continue et monotone sur R et limite + et -00 = +00
Donc f est une bijection de R sur R

La rédaction est correcte ?

Pas du tout :ptdr:
Vraiment, les limites aux bornes sont +infini ?
Ca te semble cohérent alors de parler de bijection ? Tu sais ce que veut dire "bijection" ?

Vérifie tes limites.

La bijection, c'est que si on cherche f(x) = k, il n'y a qu'une solution.
En allant vers + infini de chaque côté, ça paraît dur d'avoir une solution unique

Mettre du sens sur ce qu'on écrit... :mur: :lol3:

[Maths-ForumR]

Ah oui mais pourtant les limites de 3x² donnent +00

[BiancoAngelo]

Cela comporte un renseignement supplémentaire, mais n'est en aucun cas nécessaire à la démonstration.

Et tu montres comment que c'est vers R ?



Et c'est une bijection vers R ?

[BiancoAngelo]

Ah oui mais pourtant les limites de 3x² donnent +00

La limite de f... :hum: :lol3:

[Sake]

Et tu montres comment que c'est vers R ?



Et c'est une bijection vers R ?

Je dis que c'est une bijection sur R ou sur I, intervalle d'étude. C'est tout.

Après, tout dépend de la question.

[Maths-ForumR]

Ah oui pardon j'ai confondu f et f'

Donc en -00 sa tend vers -00 et en +00 vers +00

[Maths-ForumR]

Donc :
1)a. Le fonction est continue et monotone sur R et limite + 00 = +00 et en -00 = -00
Donc f est une bijection de R sur R.

1)b. f'(x)=3x²+3a = 3(x²+a) avec a<0
On doit juste dire que le signe de (x²+a) varie donc que f n'est pas une bijection de R sur R ?

[BiancoAngelo]

Donc :
1)a. Le fonction est continue et monotone sur R et limite + 00 = +00 et en -00 = -00
Donc f est une bijection de R sur R.

1)b. f'(x)=3x²+3a = 3(x²+a) avec a<0
On doit juste dire que le signe de (x²+a) varie donc que f n'est pas une bijection de R sur R ?

Le signe "varie", c'est moyen comme expression.

Vu que a est négatif, continue à factoriser, tu peux faire mieux.

[Maths-ForumR]

On factorise par 3x² => F'(x)=3x²(1+a/x²)

[BiancoAngelo]

On factorise par 3x² => F'(x)=3x²(1+a/x²)

Rooo, mais quand même

Un carré moins un carré, ça te parle ?

a < 0

[Maths-ForumR]

f'(x)= (x-;)-a).(x+;)-a)
Qui s'annule pour (x-;)-a)=0 ou (x+;)-a)=0 donc pour x= ;)-a ou -;)-a
Donc la solution n'est pas unique donc f n'est pas une bijection

[BiancoAngelo]

f'(x)= (x-;)-a).(x+;)-a)

Eh oui Donc là, il est facile de voir que le signe change 2 fois

[Maths-ForumR]

Cette rédaction est telle correcte ?

f'(x)= (x-;)-a).(x+;)-a)
Qui s'annule pour (x-;)-a)=0 ou (x+;)-a)=0 donc pour x= ;)-a ou -;)-a
Donc la solution n'est pas unique donc f n'est pas une bijection

[BiancoAngelo]

Cette rédaction est telle correcte ?

f'(x)= (x-;)-a).(x+;)-a)
Qui s'annule pour (x-;)-a)=0 ou (x+;)-a)=0 donc pour x= -a ou -;)-a
Donc la solution n'est pas unique donc f n'est pas une bijection

Bof. Il manque une petite ligne.
La dérivée changeant strictement de signe, alors f n'est pas monotone, donc pas une bijection.