étude de f : x -> (chx)^(1/x)

[cocoxi]

Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice dans lequel on étude la fonction f : x -> (chx)^(1/x).
En ayant préalablement réalisé un DL en 0, on montre d'abord qu'elle se prolonge en 0, on étudie la tangente en 0 ainsi que la position de la courbe par rapport à cette derniere, puis on étudie les branches infinies.
Jusqu'ici malgré deux ou trois détails, tout va bien. Cependant, il faut ensuite étudier les variations de cette fonction. Je l'ai tracée et elle est croissante, mais je n'arrive pas à le montrer. Sauf erreur de ma part, sa dérivée est f'(x) = ((-1/x^2)*ln(chx) + shx/(xchx) ) (chx^(1/x)).
Tout est positif sauf le premier terme dans la parenthese, qui est négatif. Il faudrait donc montrer que shx/xchx > (1/x^2) * ln(chx) mais je n'y arrive pas. J'ai essayé de dériver ce terme à nouveau, mais le résultat n'a pas l'air concluant. Si vous connaissez une astuce ou que vous savez comment faire je vous en serai reconnaissant.

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, ton est du même signe (en multipliant par ) que dont la dérivée est assez simple.

[cocoxi]

Très juste merci beaucoup ! J'avais pensé à dériver, mais pas à multiplier par x^2 alors la dérivée que j'obtenais était bien trop compliquée...
Je trouve xth'(x), soit x(1 - th(x)^2) mais comment puis-je dire que ceci est positif ?

[Black Jack]

f(x) = (ch(x))^(1/x)
f(0) = 1

ln(f(x)) = ln(ch(x))/x

f'(x)/f(x) = (x.th(x)-ln(ch(x)))/x²

f'(x) = (ch(x))^(1/x) * (x.th(x)-ln(ch(x)))/x² ... avec les précautions à prendre en 0 ...

((ch(x))^(1/x))/x² > 0 et donc f'(x) a le signe de g(x) = x.th(x)-ln(ch(x))

g'(x) = th(x) + x/ch²(x) - th(x)
g'(x) = x/ch²(x)

L'étude du signe de g'(x) est immédiat ... et on conclut que g(x) est minimum en x = 0, ce min valant g(0) = 0
Donc g(x) >= 0 et f'(x) >= 0 aussi.

Donc f(x) est croissante.

:zen:

[cocoxi]

f(x) = (ch(x))^(1/x)

g'(x) = th(x) + x/ch²(x) - th(x)
g'(x) = x/ch²(x)

L'étude du signe de g'(x) est immédiat ... et on conclut que g(x) est minimum en x = 0, ce min valant g(0) = 0

:zen:

C'est justement là que je ne comprends pas. On a g'(x) = x/ch(x)^2 donc pour x négatif, g'(x) sera négatif non ?
Je me mets le doute moi-même, je crois qu'il est temps pour moi de faire une pause :mur:

[cocoxi]

Ah voilà c'est bon merci beaucoup, je ne savais pas que th'(x) = 1/ch(x)^2 !
Merci bien et bonne fin de journée !