Espace2.8

[Jjl]

Bonjour,on m'a donné cet exercice;
L'espace est rapporté à un repère (O,i,j,k).
On note D la droite passant par les points A(1,-2,-1) et B(3,-5,-2).
1)Donner une représentation paramétrique de la droite D.
2)On note D' la droite ayant pour représentation paramétrique :
D' : {x=2-k; y=1+2k; z=k.
Montrer que les droites D et D' ne sont pas coplanaires.
3) On considère le plan P d'équation; 4x+y+5z+3=0
a)Montrer que le plan P contient la droite D.
b)Montrer que le plan P et la droite D' se coupe en un point C dont on précisera les coordonnées.
c) déterminé les coordonnées du projeté orthogonal H du point C sur D.
PS: je n'ai pas écris les calcul simple comme les coordonnées AB,car ce message est déja assez long.
Alors en 1) j'ai écris:
D : {x=2t+1; y=-3t-2; z=-t-1.
2)Il faut montrer que ces droites ne sont ni parralèle ni sécante donc déja elle ne sont pas parallèle parce ce que leur vecteur directeur (2,-3,-1) et (-1,2,1) ne sont pas colinéaire,et pour que ces droite soient sécante il faudrait que le système: {2-k=2t+1(1.3); 1+2k=-3t-2;k=-t-1. admette une solution or quand on remplace la valeur de k dans (1.3) on se rend compte que 3+t=2t+1 ce qui donne t=2 et quand on remplace dans une autre ligne on trouve que t=-1 ce qui est impossible car -1 n'est pas égal a 2 donc les deux droite ne sont pas sécantes ni parrallèle,ni confondu.
3)Si D appartient a P alors cela veut di que les point A et B appartienne a P ce qui est le cas car pour A :4-2-5+3=0 et pour B:12-5-10+3=0
b) Mais Pour les coordonné je ne sais pas trop,j'ai écrit
4(2-k)+(1+2k)+5k+3=0 d'ou k=-4 et C(6,-7,-4).
Le c) je ne sais pas du tout..

[Joker62]

Hello,

Tu peux toujours prendre un point variable M de la droite D (qui dépend de t)
De calculer la distance CM et trouver le minimum de cette fonction.

Sinon, on prend un plan Q passant par C tel que D est perpendiculaire à Q.
Et trouver l'intersection entre ce plan Q et cette droite D.

[Jjl]

On peut écrire une équation paramétrique du plan P? si oui elle pourrai servir à trouvé le point d'intersection

[Joker62]

Une équation cartésienne conviendrait mieux.

D est perpendiculaire donc un de ses vecteurs directeurs engendre la normale à Q
On trouve le dernier coefficient d grâce aux coordonnées du point C

[Jjl]

ahh d'accord,merci pour ton aide Joker62.

[deltab]

Bonsoir.
Pour 3c), tu es censé connaitre une paramétrisation D et les coordonnées du point C et qui parle d'orthogonalité parle de produit scalaire ........

[Jjl]

Oui cet question est plus simple que je le pensai mais je suis un peu fatigué donc je répondrai à cette question dans quelque heure,et oui je sais c'est quoi une équation paramétrique et un projeté orthogonal mais ça vous le savez puisque j'ai répondu à la question 1 (équation paramétrique).

[deltab]

Bonjour.

Oui cet question est plus simple que je le pensai mais je suis un peu fatigué donc je répondrai à cette question dans quelque heure,et oui je sais c'est quoi une équation paramétrique et un projeté orthogonal mais ça vous le savez puisque j'ai répondu à la question 1 (équation paramétrique).

Pour "tu es censé connaitre une paramétrisation de D et les coordonnées du point C", je me référais aux réponses des questions 1) et 3b).

[Jjl]

L'équation paramétrique de la question 1 est bonne,et il y a une grande différence entre connaitre quelque chose et utilisé cette chose pour résoudre un problème.

[deltab]

Bonjour

L'équation paramétrique de la question 1 est bonne,et il y a une grande différence entre connaitre quelque chose et utilisé cette chose pour résoudre un problème.

Dire que est le projeté orthogonal de sur revient à dire que est sur et est orthogonal à donc aussi à un vecteur directeur de par exemple , d'où .

[Jjl]

merci pour ton aide,maintenant que je suis moins fatigué,j'ai tenté de répondre à la question 3b) .Alors la droite D' est soit parallèle au plan P soit incluse dans P soit elle est sécante(ou perpendiculaire donc sécante) avec se plan. Alors déja elle n'est pas parallèle car U'(-1,2,1)*n(4,1,5)=3 différent de 0. Ensuite P et D' ne sont pas perpendiculaire car n et u' ne sont pas colinéaire. Ensuite D' est incluse dans P si deux point de D' appartienne à P donc l'équation de D' c'est 2x+y-5=0 ou Y+-2X+5 et deux point de D' sont A(0,5) et B(-1,3) cependant je me demande si les point A(0,5) et A(0,5,0) ne sont pas identique en tout cas je rajouterais pour les deux point "z" = 0 ce qui donne A(0,5,0) B(-1,3,0) alors ces deux point que j'ai choisi appartienne à D' mais pas à P donc D' n'est pas incluse dans P par conséquent D' ne peut que coupé le plan P en un point C.

[Jjl]

merci pour ton aide,maintenant que je suis moins fatigué,j'ai tenté de répondre à la question 3b) .Alors la droite D' est soit parallèle au plan P soit incluse dans P soit elle est sécante(ou perpendiculaire donc sécante) avec se plan. Alors déja elle n'est pas parallèle car U'(-1,2,1)*n(4,1,5)=3 différent de 0. Ensuite P et D' ne sont pas perpendiculaire car n et u' ne sont pas colinéaire. Ensuite D' est incluse dans P si deux point de D' appartienne à P donc l'équation de D' c'est 2x+y-5=0 ou Y+-2X+5 et deux point de D' sont A(0,5) et B(-1,3) cependant je me demande si les point A(0,5) et A(0,5,0) ne sont pas identique en tout cas je rajouterais pour les deux point "z" = 0 ce qui donne A(0,5,0) B(-1,3,0) alors ces deux point que j'ai choisi appartienne à D' mais pas à P donc D' n'est pas incluse dans P par conséquent D' ne peut que coupé le plan P en un point C. Et pour trouvé les coordonnées de c j'ai pensé à résoudre le système:
{2x+y-5= 0,4x+y+5z+3= 0

[deltab]

Bonjour.

Ce que as fait pour trouver les coordonnées de est juste. Il est inutile de revenir la-dessus.

Remarques
1) Une droite qui n'est pas dans un plan ne coupe pas nécessairement le plan, elle peut lui être parallèle.
2) Les lettres A et B désignent déjà des points dans l'énoncé. Ne les utilises pas pour définir d'autres points
3) On est dans l'espace, un point est défini par 3 composantes.
4) Pour trouver les coordonnées C (ce qui était inutile), tu as cherché dans ton dernier post à résoudre un système de 2 équations mais 3 inconnues et un tel système soit n'admet pas de solution, soit admet une infinité de solutions

[Jjl]

Oui c'est vrai pour le système de 2 équation à 3 inconnu,merci pour aide deltab,maisc'est dommage que j'ai fait tout ça sans trouvé C.

[deltab]

Bonjour

Oui c'est vrai pour le système de 2 équation à 3 inconnu,merci pour aide deltab,maisc'est dommage que j'ai fait tout ça sans trouvé C.

Les coordonnées du point C, tu les as déjà trouvées dans ton 1er post.. Relis-toi!

[Jjl]

C(6,-7,-4) abon mais je croyais que ma méthode n'étais pas la bonne

[Jjl]

merci pour ta patience,car il en faut :D

[deltab]

Bonjour.

merci pour ta patience,car il en faut

Des systèmes de 2 équations et 3 inconnues, j'en ai vu, mais des systèmes de 2 équations et 3 inconnu pas encore

[Jjl]

Tu veux dire 3 équations deux inconnues non?

[Jjl]

Dit moi,que pense tu du pivot que j'ai tenté de résoudre (sujet "pivot pour les nuls")?