Espace de banach

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontrer ce resultat:
soit X et Y deux espaces vectoriel normé
montrer que si B(X, F)est non reduit a l'application nul et B(X,Y) est de banach alors Y est de banach
AVEC F designe R ou C ET B(X,Y) designe l'ensemble des fonction de X a valeurs dans Y lineaire ,continue et bornée
voici ma reponse pouvez vous me la coriger :
comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X;)F telque L(x)#0 pour tout x#0
soit (yn) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
on a ;);)>0 ;)N>0 telque ;)n>m>N ||yn-ym||;);)/||L||
soit (An) une suite de B(X,Y) telque
An(x)=l(x)yn pour tout x;)X
on a ;);)>0 ;)N>0 telque ;)n>m>N ||An(x)-Am(x)||;)||L||.||yn-ym||;);) pour tout x;)X telque ||x||;)1
par suite ;);)>0 ;)N>0 telque ;)n>m>N ||An-Am||;);)
ce qui signifie que (An) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
donc An;)A ;) B(X,Y)
par suite An(x);) A(x) ;)Y pour tout x;) X
ce qui donne l(x)yn ;) A(x) pour tout x ;) X par suite yn ;) A(x)/l(x);)Y pour tout x;) X
on conclut alors que Y est de banach.
merci en avance

[Godfrey]

Dans l'hypothèse il existe telle que pour un certain on a .
C'est avec cette valeur de que tu peux finir ta preuve comme tu viens de le faire.