Epicycloïde, Hypocycloïde

[Anonyme]

Bonsoir, je coince dans la dernière question d'un exercice.
En bref, il a été question de trouver la paramétrisation complexe d'une epicycloide puis d'une hypocycloide.
Pour cela, on a considéré le cercle C de centre 0, de rayon R, sur lequel un cercle extérieur mobile E de centre W et de rayon r roule sans glisser (roulement intérieur pour le cas de l'hypocycloide).
J'ai donc obtenu : en posant le rapport m=r/R, et a=mes(i1,WM(t)) avec i1 axe appartenant au repère du cercle E, et colinéaire au rayon R, et M(t) un point quelconque du cercle E.
pour l'epicycloide : z(a)=R[(m+1)e^(i.m.a) - m.e^(i.(m+1).a)]
pour l'hypocycloide : z(a)=R[m.e^(i.(1-m).a) + (1-m).e^(-i.m.a)]

Question : montrer que ces deux courbes sont fermées ssi le quotient m=r/R est une fraction rationnelle.
Je n'ai vraiment aucune idée sur la façon de démontrer ça. Si vous avez quelques idées, merci d'avance !

[yos]

Si m=p/q, que vaut ?

[Anonyme]

je trouve que z(a+2q.pi)=z(a) et après ?

[yos]

est une période : la courbe est fermée (non unicursale : on repasse au même endroit après un tour.
C'est le principe du spirographe. L'utilisation de roues dentées permet à coup sûr un rapport r/R rationnel (car 2pir/(2piR) est le rapport des nombres de dents) et du coup les courbes se ferment.

La réciproque n'est pas plus difficile.