Distance induite par une norme

[Ihsan]

Comment peut on induire une distance depuis une norme ? Qu'est-ce que c'est une distance induite par une norme (je parle pas de l'explication par la formule d(x,y)=//×-y//mais plutôt au sens général )
Pourquoi doit on utiliser ces conditions pour montrer que c'est une distance induite par une norme ?
d(x,0)=//x//
d(¡x,¡y)=/i/d(x,y)
d(z+x,y+z)=d(x,y)

[GaBuZoMeu]

Le sens général est donné par la formule



La distance de deux points, c'est la norme du vecteur ayant ces points pour origine et extrémité. C'est ça la distance induite par une norme ; que vas-tu chercher de plus ?

Je ne comprends pas ton autre question, d'autant plus que tu as visiblement fait une erreur dans ta dernière égalité. Tu voulais peut-être écrire ? Alors une distance qui vérifie ceci pour tous vérifie (en prenant ) . Et si ...

[Sylviel]

Pour compléter un peu :
toute norme ||.. || induit une distance d(x,y) = || y - x ||
en revanche il existe des distance qui ne sont pas induite par une norme.

[Ihsan]

Le sens général est donné par la formule



La distance de deux points, c'est la norme du vecteur ayant ces points pour origine et extrémité. C'est ça la distance induite par une norme ; que vas-tu chercher de plus ?

Je ne comprends pas ton autre question, d'autant plus que tu as visiblement fait une erreur dans ta dernière égalité. Tu voulais peut-être écrire ? Alors une distance qui vérifie ceci pour tous vérifie (en prenant ) . Et si ...

Je comprenais pas la différence entre 'toute norme est une distance ' et 'distance induite par une norme'
Pour la 2ème question oui c'était une erreur désolée je vais la corriger ,mais ce que cherche c'est plutôt une explication au sens théorique et général, par exemple les normes et leurs propriétés c'est des généralisations des vals absolus dans les mathématiques euclidiennes. Peut-être les conditions que j'ai déjà mentionné se sont les mêmes conditions pour définir un vecteur car comme tu as déjà dit' norme d'un vecteur ayant ces points pour origine et extrémité. '
J'espère que c'est un peut Claire pour toi

[Sylviel]

Une norme c'est une fonction prenant pour argument un vecteur : cela en mesure la taille.
Une distance c'est une fonction prenant pour argument deux vecteurs : cela mesure la distance entre les deux extêmités.
Ce sont donc deux type de fonctions différentes.

En revanche si tu as une norme N, alors on peut construire une distance d(x,y) = N(y-x), ce qui veut dire que la distance entre les deux "points" x et y est la norme du vecteur allant de x à y.

Finalement, on peut construire des distances qui ne sont pas issues de normes.

[GaBuZoMeu]

Une distance c'est une fonction prenant pour argument deux vecteurs

Je dirais plutôt deux éléments d'un ensemble : une distance n'est pas forcément définie sur un espace vectoriel. On peut par exemple définir une distance sur l'ensemble des mots de cinq lettres : la distance entre deux mots est définie comme le nombre d'emplacements où les deux mots ont des lettres différentes. Par exemple, la distance entre "cacao" et "carte" est 3. Exercice : vérifier qu'il s'agit bien d'une distance.

[Ihsan]

Une norme c'est une fonction prenant pour argument un vecteur : cela en mesure la taille.
Une distance c'est une fonction prenant pour argument deux vecteurs : cela mesure la distance entre les deux extêmités.
Ce sont donc deux type de fonctions différentes.

En revanche si tu as une norme N, alors on peut construire une distance d(x,y) = N(y-x), ce qui veut dire que la distance entre les deux "points" x et y est la norme du vecteur allant de x à y.

Finalement, on peut construire des distances qui ne sont pas issues de normes.

Merci pour ta réponse j'y vois plus clair.