Différentielle.

[infernaleur]

Salut j'aurais besoin d'aide pour un exercice.

(X^t désigne la transposée de X)

Soit ,
,

On munit de la norme

1) montrer que pour une constante C à déterminer.
Pour sa c'est bon on a


Mais pour le reste je bloque ...

2) montrer que est différentiable en (X,Y) et déterminer sa différentielle


3)Soit


Pour tout X dans déterminer la différentielle

Merci de votre aide !

[Ben314]

Salut,
Dans un cas pareil, pour trouver a différentielle, il y a (au moins) trois méthodes "classiques" (donc c'est bien de faire les trois) :

Méthode 1 :
Vu la tête de la fonction il est clair qu'elle est de classe vu que c'est une somme/produit des coordonnées du vecteur (X,Y) de départ et donc qu'on peut calculer les dérivées partielles de tout ordre en tout point.
Rappel : si une fonction admet des dérivées partielles en tout points et que ces dérivées partielles sont continues ça prouve que la fonction est C^1 et en particulier qu'elle est différentiable Alors que uniquement l'existence de dérivées partielles (sans la continuité), ben ça ne prouve... rien du tout...
Fort de ce constat (qu'elle est différentiable), on sait qu'on peut calculer la différentielle via le fait que

où, vu le contexte, Z et E sont des éléments de R^nxR^n et, pour se lancer dans les calculs, tu peut les noter (X,Y) et (H,K) par exemple.

Méthode 2 :
Idem pour le début, à savoir que tu dit qu'elle est clairement différentiable.
Ensuite, ben tu calcule simplement les dérivées partielles de par rapport à chacune des variables, donc tout les et et tu termine en disant que


Méthode 3 :
Tu essaye d'utiliser directement la définition de "différentiable" et, pour se faire, tu fixe un (X,Y) de R^nxR^n et il faut que tu arrive à écrire que, pour tout (H,K) de R^nxR^n on a

où L est une application linéaire en (H,K) (*) et où
Lorsque l'on procède de cette façon, on "développe" le de façon à faire "apparaitre" le et concernant les autres termes qui restent, ben on les regarde dans le blanc des yeux pour voir s'ils sont à ranger dans la catégorie "linéaire en (H,K)" ou dans la catégorie "très petit lorsque (H,K) est petit", pui on démontre proprement qu'on a rangé comme il faut (i.e. que L est bien linéaire en (H,K) et que R(H,K) est bien un ) et on conclue (avec la définition) que la différentielle de au point (X,Y), c'est l'application linéaire L.
Ici, avec ta fonction, le "rangement par catégorie" est évident.

(*) Attention à ne pas confondre avec une application bilinéaire...

P.S. Vu ta question préliminaire, c'est clairement la méthode 3 qui est attendu, mais je t'inciterais fortement à faire... les 3...

[infernaleur]

Merci (encore une fois) pour ta réponse très détaillé !!!
Avec la méthode 2 et 3 j'ai trouvé le résultat très rapidement, j'ai essayé la méthode 1) mais j'ai pas eue le courage de continuer comme je me retrouvais rapidement avec des gros truc mais j'essayerai quand j'aurais le temps.

De plus je pense que c'est la troisième méthode ( j'avais pas vu ton message à la fin) qui était attendu par l'exercice car j'ai montré que :



Donc la différentielle en (X,Y) est c'est sa ?

[Ben314]

Pourtant, la 1), c'est souvent un "bon intermédiaire" entre la 3) (des fois bien théorique) et la 2) (lourde en calculs et/ou notations). Ici, ça donnerais :

[Ben314]

Donc la différentielle en (X,Y) est c'est sa ?

Oui, c'est ça (*)
Et vu la question précédente, le seul truc à vérifier, c'est que est linéaire.

(*) Modulo qu'à mon avis, pour pas trop se mélanger les pinceaux, au début, c'est mieux d'écrire que :
La différentielle au point (X,Y), c'est l'application linéaire
Plutôt que
La différentielle en (X,Y) est c'est sa ?
Mais bon, dans ces trucs de calculs diff, si on écrit tout tout le temps, ça devient rapidement super lourd donc tout le monde abrège. Le tout c'est d'en être bien conscient...

[infernaleur]

Ok merci beaucoup !