Differentiabilité !

[barbu23]

Bonjour :
Je voudrai que vous m'expliquiez pourquoi la fonction suivante est differentiable sur :


avec : un espace vectoriel de dimension finie sur .
Merci infiniment !!

[BQss]

Salut, tout simplement car tu vois(c'est une raison suffisante) que avec x et y des vecteurs constants de F,
on a les dérivées partielles qui existent et sont continues(c'est lineaire).

On peut meme juste remarquer que c'est lineaire avec l'espace d'arrivée de dimension finie, de differentielle, (y-x)=constante...

[Joker62]

Moi j'étais parti comme ça :

Phi clairement différentiable sur ]0;1[ car dérivable sur ]0;1[
Donc la différentielle est :



Et donc il nous reste à vérifier en 0 et en 1 en ayant également le candidat.

[BQss]

Salut Joker,
euh, y-x a la dimension de F, pour qu'on puisse parler de derivabilité il faudrait que F soit de dimension 1.
F est juste de dimension fini sur R mais pas forcement de dimension 1...

La differentielle est alors une matrice colonne de n lignes.

[Joker62]

Hummmm :^)
On m'a appris que si f : I C R -> (E, ||.||) définie sur un ouvert I de R

Alors
1) f dérivable en t0 <=> f différentiable en t0
Et dans ce cas d(to)f = I -> E, h -> h.f'(t0)

J'ai pas compris pourquoi ça marcherait pas dans ce cas, enfin, l'histoire de dimension surtout.

[BQss]

Par exemple si x=(1,2)^t et y=(3,4)^t

phi(t)=(1+t(3-1),2+t(4-2))=(1+2t,2+2t)

[BQss]

Hummmm :^)
On m'a appris que si f : I C R -> (E, ||.||) définie sur un ouvert I de R

Alors
1) f dérivable en t0 f différentiable en t0
Et dans ce cas d(to)f = I -> E, h -> h.f'(t0)

J'ai pas compris pourquoi ça marcherait pas dans ce cas, enfin, l'histoire de dimension surtout.

euh oui tu as raison, j'ai regardé le cours que j'ai de licence et effectivemment, il n'y a pas de raison de ne pas pouvoir faire tendre h vers 0 dans phit(t+h)-phi(t)/h, le probleme vient juste quand l'espace de depart n'est pas de dimension 1, ou on ne peut plus diviser par un vecteur.

[barbu23]

Salut "BQss" :
Moi, j'ai pensé à un autre argument, on peut écrire de la manière suivante :


Puisque : : est differentiable sur , alors : est differentiable sur .
Voilà, donc une raison pour laquelle est differentiable. Et puisque je ne maitrise pas bien mon cours pour l'instant !! j'aimerai m'arreter sur les differents étapes que tu as employé pour montrer la differentiabilité de .
En fait, si je comprends bien, tu as appliqué le corollaire qui dit qu'une application linéaire et continue est necessairement differentiable !! mais dans notre cas ici n'est pas linéaire !!
Une seconde chose : Est ce que si les derivées partielles existent et sont continues alors l'application est differentiable !! ( c'est dans le cours ça ? quelle honte !! :hum: :lol2: )
Ensuite, tu dis que c'est linéaire, ça veut dire que si les derivées partielles existent et sont lineaires alors, elles sont continues c'est ça ?
Merci d'avance de votre aide !!

[Joker62]

Vui mais ça règle pas le problème pour autant, il resterait à considérer la différentielle dans un voisinage de 0 et de 1 ce qui est plus long que la méthode des dérivées partielles continues.
En même temps y'a qu'une dérivée partielle :D
Donc ouai on opte pour la condition suffisante de différentiabilité ;)

[BQss]

En même temps y'a qu'une dérivée partielle

Ah non il y a n dérivées partielles , ce qui n'empeche que c'est bien dérivable ...

C'est phi(t+h)-phi(t) avec h un réel mais (phi(t+h)-phi(t)) est de dimension n, la dimension de F...
la dérivée est une matrice colonne:

[BQss]

Salut "BQss" :
Moi, j'ai pensé à un autre argument, on peut écrire de la manière suivante :

En fait, si je comprends bien, tu as appliqué le corollaire qui dit qu'une application linéaire et continue est necessairement differentiable !! mais dans notre cas ici n'est pas linéaire !!

Non mais c'est la somme d'une fonction lineaire differentiable et d'une fonction constante differentiable. C'est affine si tu veux.

[Joker62]

Quand on est en dimension finie, linéaire c'est équivalent à continue ( ça se voit en topo )

Pour ce qui est de la condition suffisante de la différentiabilité, oui, en effet elle est dans le cours, et il suffit que les dérivées partielles existent et sont continues, la preuve est longue, mais jolie et facile à mettre en place.

Faut aussi rappeler qu'on parle de dérivées partielles seulement dans R^n, parce que les dérivées partielles, sont juste les dérivées suivant les vecteurs de bases.

[barbu23]

Et pourquoi on ecrit "linéaire + continue differentaible" ..? on aurrait ecrit tout simplement " lineaire differentaible " .. !!
Ou bien, Il disent ça dans le cours parceque l'espace vectoriel est consideré de dimension quelconque !! c'est à cause de ça "Joker" ?
Merci d'avance !!

[barbu23]

Une autre petite question !
Est ce que les derivées partielles sont toujours lineaires !! ou bien il y'a des cas ou celà n'est pas realisé !!
Merci d'avance !!

[Joker62]

C'est surtout parce qu'on est en dimension finie !
Sur l'espace vectorielle des fonctions continue, linéaire n'est pas équivalent à continue.

Pour la question des dérivées partielles toujours linéaires, évidemment que non

Et puis, c'est pas linéaire + continue => différentiabilité

C'est Existence et continuïté des fonctions dérivée partielle => différentiabilité

[barbu23]

Faut aussi rappeler qu'on parle de dérivées partielles seulement dans R^n, parce que les dérivées partielles, sont juste les dérivées suivant les vecteurs de bases.

Les derivées partielles sont les derivées directionnelles suivant la base de l'espace vectoriel dans lequel on se situe !!

[BQss]

Une autre petite question !
Est ce que les derivées partielles sont toujours lineaires !! ou bien il y'a des cas ou celà n'est pas realisé !!
Merci d'avance !!

Quand elles existent, à t fixé oui elles sont lineaires, forcement, tout comme la ou la differentielle existe, a t fixé c'est une application lineaire. Maintenant l'application qui a t associe df(t), la differentielle, n'a aucune raison d'etre lineaire sauf quand elle "derive" d'une forme quadratique.
La differentielle de par exemple est 2Ax.

[barbu23]

on a les dérivées partielles qui existent et sont continues(c'est lineaire).

...

Cette phrase, j'ai pas encore bien compris !!
Les dérivées partielles existent et sont linéaires donc continues puisque l'espace vectoriel est de dimension fini !! Mais pourquoi, les derivées partielles ici sont lineaires ? ( est une application d'une seules variable, et la derivée par rapport à est constante donc pas lineaire .
Je crois que j'ai appris la moitié du cours avec ce que vous m'avez expliqué :king: !! Encore une fois je vous remercie infiniment !!

[BQss]

Les dérivées partielles ne sont pas lineaires elles sont constantes ici. Ce qui est lineaire c'est la fonction qui a dh associe df(t).dh avec t fixé ici. Mais c'est le cas pour toute differentielle a t fixé, vu qu'a t fixé tu te retrouves avec un df(t) constant... Et on peut dire exactement la meme chose pour les dérivées partielles phi'1, phi'2 etc( qui comem Joker l'a suggéré cohincident avec les dérivées des fonctions coordonnées)...

Je te laisse j'ai un cours! Joker sera la j'espere.

[barbu23]

Oui, je comprends ce que tu dis :



Mais je vois pas le rapport avec les derivées partielles !!